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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:

T: 4 bolas negras y 6 blancas,
R: 7 bolas negras y 3 blancas.

Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

a) sean negras,

b) sean blancas,

c) sean de distinto color.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(\text{dos negras}) = \dfrac{67}{220} \approx 0{,}305

P(\text{dos blancas}) = \dfrac{45}{220} = \dfrac{9}{44} \approx 0{,}205

P(\text{distinto color}) = \dfrac{27}{55} \approx 0{,}491

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en tres etapas, ideal para un diagrama de árbol:

se elige urna (T o R, con probabilidad $\tfrac12$ cada una);
se saca una bola de esa urna;
esa bola pasa a la otra urna, que ahora tiene 11 bolas, y de ella se saca la segunda.

La composición de la segunda urna depende del color de la primera bola: eso es lo que hay que cuidar. Cada rama se multiplica a lo largo y se suman las ramas que dan el suceso pedido (probabilidad total). Para c) basta el complementario de a) y b).

Desarrollo

Ramas que empiezan en T (probabilidad

\tfrac12

). Se saca de T (4 N, 6 B) y la bola va a R (7 N, 3 B), que pasa a tener 11 bolas:

negra de T ( $\tfrac{4}{10}$ ) → R queda con 8 N y 3 B: negra con $\tfrac{8}{11}$ , blanca con $\tfrac{3}{11}$ ;
blanca de T ( $\tfrac{6}{10}$ ) → R queda con 7 N y 4 B: negra con $\tfrac{7}{11}$ , blanca con $\tfrac{4}{11}$ .

Ramas que empiezan en R (probabilidad

\tfrac12

). Se saca de R (7 N, 3 B) y la bola va a T (4 N, 6 B):

negra de R ( $\tfrac{7}{10}$ ) → T queda con 5 N y 6 B: negra con $\tfrac{5}{11}$ , blanca con $\tfrac{6}{11}$ ;
blanca de R ( $\tfrac{3}{10}$ ) → T queda con 4 N y 7 B: negra con $\tfrac{4}{11}$ , blanca con $\tfrac{7}{11}$ .

a) Dos negras. Ramas T-N-N y R-N-N:

P(NN) = \frac12\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{8}{11} + \frac12\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{11} = \frac{32}{220} + \frac{35}{220} = \frac{67}{220} \approx 0{,}3045

b) Dos blancas. Ramas T-B-B y R-B-B:

P(BB) = \frac12\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{11} + \frac12\cdot\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{11} = \frac{24}{220} + \frac{21}{220} = \frac{45}{220} = \frac{9}{44} \approx 0{,}2045

c) Distinto color. Es el complementario de «mismo color», y «mismo color» es NN o BB (incompatibles):

P(\text{distinto}) = 1 - \left(\frac{67}{220} + \frac{45}{220}\right) = 1 - \frac{112}{220} = \frac{108}{220} = \frac{27}{55} \approx 0{,}4909

Comprobación directa. Ramas NB y BN:

\frac12\left(\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{11} + \frac{6}{10}\cdot\frac{7}{11} + \frac{7}{10}\cdot\frac{6}{11} + \frac{3}{10}\cdot\frac{4}{11}\right) = \frac{12 + 42 + 42 + 12}{220} = \frac{108}{220}

✓.

Consejo

El fallo típico es olvidar que la bola pasa a la otra urna: la segunda extracción se hace entre 11 bolas, y su composición depende del color de la primera. Dibuja el árbol completo (ocho ramas finales) y comprueba que todas suman 1; el apartado c) sale gratis por el complementario.

Paso 1 de 3

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