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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Calcula

\displaystyle\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)}\,dx

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Resultado

\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)}\,dx = -3\ln|x + 1| + \frac{2}{x + 1} + 3\ln|x - 2| + K

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador, así que no hay que dividir: se va directamente a fracciones simples.

La clave está en factorizar del todo el denominador:

x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)

, de modo que el factor

(x + 1)

aparece dos veces. Una raíz doble pide dos fracciones, una con

(x+1)

y otra con

(x+1)^2

. Después, cada fracción tiene una primitiva inmediata (logaritmo o potencia).

Desarrollo

Factorización del denominador. Las raíces de

x^2 - x - 2 = 0

son

x = \frac{1 \pm 3}{2}

, es decir,

2

-1

(x + 1)(x^2 - x - 2) = (x + 1)^2\,(x - 2)

Descomposición.

\frac{7x + 13}{(x + 1)^2(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{C}{x - 2}

Quitando denominadores:

7x + 13 = A(x + 1)(x - 2) + B(x - 2) + C(x + 1)^2

Coeficientes. Damos valores a

x

$x = 2$ : $14 + 13 = 9C \Rightarrow C = 3$ .
$x = -1$ : $-7 + 13 = -3B \Rightarrow B = -2$ .
Coeficiente de $x^2$ : $0 = A + C \Rightarrow A = -3$ .

Comprobación con

x = 0

13 = -3\cdot(1)(-2) + (-2)(-2) + 3\cdot 1 = 6 + 4 + 3 = 13

✓.

Integración.

\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)}\,dx = \int \left(\frac{-3}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^2} + \frac{3}{x - 2}\right) dx

$\displaystyle\int \frac{-3}{x+1}\,dx = -3\ln|x + 1|$
$\displaystyle\int -2\,(x + 1)^{-2}\,dx = -2\cdot\frac{(x+1)^{-1}}{-1} = \frac{2}{x + 1}$
$\displaystyle\int \frac{3}{x - 2}\,dx = 3\ln|x - 2|$

\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)}\,dx = -3\ln|x + 1| + \frac{2}{x + 1} + 3\ln|x - 2| + K

que también se puede escribir

3\ln\left|\dfrac{x - 2}{x + 1}\right| + \dfrac{2}{x + 1} + K

Consejo

La descomposición vale 1,5 de los 2,5 puntos. El fallo clásico es no factorizar $x^2 - x - 2$ y no ver que $(x+1)$ queda al cuadrado: con solo tres fracciones de denominador lineal la descomposición no sale. Recuerda que $\int (x+1)^{-2}\,dx$ es una potencia, no un logaritmo, y no olvides la constante $K$ .