Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Dada la función

f(x) = (x - 1)^2 e^{-2x}

, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Decreciente en $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$ ; creciente en $(1, 2)$ .
Mínimo (relativo y absoluto) en $(1, 0)$ .
Máximo relativo en $(2, e^{-4}) \approx (2;\ 0{,}0183)$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función es un producto de un polinomio y una exponencial: está definida y es derivable en todo

\mathbb{R}

. El plan es el de siempre:

derivar (regla del producto y de la cadena) y sacar factor común $e^{-2x}$ , que nunca se anula;
buscar los ceros de $f'$ ;
estudiar el signo de $f'$ en los intervalos que delimitan;
leer los extremos donde cambia el signo.

Desarrollo

Dominio.

\mathbb{R}

: no hay denominadores ni raíces.

Derivada.

f'(x) = 2(x - 1)\,e^{-2x} + (x - 1)^2\cdot(-2)\,e^{-2x} = 2(x - 1)\,e^{-2x}\,\big[1 - (x - 1)\big] = 2(x - 1)(2 - x)\,e^{-2x}

Puntos críticos. Como

e^{-2x} > 0

siempre:

f'(x) = 0 \iff x = 1 \ \text{ o } \ x = 2

Signo de $f'$ . El signo lo deciden los factores

(x - 1)

(2 - x)

	$(-\infty, 1)$	$(1, 2)$	$(2, +\infty)$
$x - 1$	$-$	$+$	$+$
$2 - x$	$+$	$+$	$-$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

Extremos.

En $x = 1$ , $f'$ pasa de negativa a positiva: mínimo relativo, $f(1) = 0$ . Como $f(x) \geq 0$ en todo $\mathbb{R}$ (un cuadrado por una exponencial), es además el mínimo absoluto.
En $x = 2$ , $f'$ pasa de positiva a negativa: máximo relativo, $f(2) = (2 - 1)^2 e^{-4} = e^{-4} \approx 0{,}0183$ .

El máximo no es absoluto: cuando

x \to -\infty

(x-1)^2 \to +\infty

e^{-2x} \to +\infty

, así que

f(x) \to +\infty

Consejo

El corrector da 0,5 por la derivada, 1 por los intervalos y 1 por los extremos. Saca factor común $e^{-2x}$ antes de igualar a cero: te ahorra errores y deja a la vista que la exponencial no cambia el signo. Da los extremos como puntos, con la $y$ calculada, no solo la abscisa.