Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Punto genérico de $r$. $P = (t,\ 2t,\ 0)$.

Distancia al origen.$$d(P, O) = \left|\overrightarrow{OP}\right| = \sqrt{t^2 + (2t)^2 + 0^2} = \sqrt{5t^2} = \sqrt{5}\,|t|$$Distancia al plano. Con $\vec n = (1, 1, 1)$:$$d(P, \pi) = \frac{|t + 2t + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|3t - 2|}{\sqrt{3}}$$Igualdad de distancias.$$\sqrt{5}\,|t| = \frac{|3t - 2|}{\sqrt{3}} \iff \sqrt{15}\,|t| = |3t - 2|$$Elevando al cuadrado:$$15t^2 = (3t - 2)^2 = 9t^2 - 12t + 4 \iff 6t^2 + 12t - 4 = 0 \iff 3t^2 + 6t - 2 = 0$$Raíces.$$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 24}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{3}$$El discriminante es positivo, así que hay dos valores de $t$:$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{3} \approx 0{,}291, \qquad t_2 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{3} \approx -2{,}291$$Los puntos. Sustituyendo en $(t, 2t, 0)$:$$P_1 = \left(\frac{-3 + \sqrt{15}}{3},\ \frac{-6 + 2\sqrt{15}}{3},\ 0\right) \approx (0{,}291;\ 0{,}582;\ 0)$$$$P_2 = \left(\frac{-3 - \sqrt{15}}{3},\ \frac{-6 - 2\sqrt{15}}{3},\ 0\right) \approx (-2{,}291;\ -4{,}582;\ 0)$$Comprobación (con $P_1$). $d(P_1, O) = \sqrt5 \cdot 0{,}2910 \approx 0{,}6507$ y $d(P_1, \pi) = |0{,}873 - 2|/\sqrt3 \approx 1{,}127/1{,}732 \approx 0{,}6507$ ✓.

¿Es único? No. Elevar al cuadrado no ha introducido soluciones falsas, porque $\sqrt{15}\,|t| = |3t-2|$ es una igualdad entre números no negativos, y las dos raíces la cumplen. Geométricamente, los puntos que equidistan de $O$ y de $\pi$ forman una superficie (un paraboloide) y la recta $r$ la corta en dos puntos.