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Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

País Vasco · 2022 · Julio
Enunciado
Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60 % de los hogares tienen al menos dos coches. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos coches?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
X∼B(50; 0,6)≈N(30; 3,46)X \sim B(50;\ 0{,}6) \approx N(30;\ 3{,}46).

a) P(X≥20)≈P(Z≤3,03)=0,9988P(X \ge 20) \approx P(Z \le 3{,}03) = 0{,}9988.

b) P(30≤X≤40)≈P(−0,14≤Z≤3,03)=0,5545P(30 \le X \le 40) \approx P(-0{,}14 \le Z \le 3{,}03) = 0{,}5545.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Cada hogar «tiene al menos dos coches» o no, con probabilidad fija 0,60{,}6, y se miran 50 hogares independientes: el número XX de hogares con dos coches o más es una binomial B(50; 0,6)B(50;\ 0{,}6). Calcular a mano sumas de 20 o 30 términos binomiales es inviable, así que se aproxima por una normal con la misma media y desviación, usando la corrección de continuidad (medio punto) al pasar de valores enteros a un intervalo continuo.
2

Desarrollo

Modelo. X∼B(n=50, p=0,6)X \sim B(n = 50,\ p = 0{,}6), con q=0,4q = 0{,}4.

¿Se puede aproximar? np=30≥5np = 30 \ge 5 y nq=20≥5nq = 20 \ge 5: sí.

Parámetros de la normal.μ=np=30,σ=npq=50⋅0,6⋅0,4=12≈3,46\mu = np = 30, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{50\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4} = \sqrt{12} \approx 3{,}46Llamamos Y∼N(30; 3,46)Y \sim N(30;\ 3{,}46) y Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1).

a) Corrección de continuidad. «Al menos 20» incluye el 20, así que el intervalo empieza en 19,519{,}5:P(X≥20)≈P(Y≥19,5)P(X \ge 20) \approx P(Y \ge 19{,}5)Tipificamos.z=19,5−303,46≈−3,03z = \frac{19{,}5 - 30}{3{,}46} \approx -3{,}03P(Z≥−3,03)=P(Z≤3,03)=0,9988P(Z \ge -3{,}03) = P(Z \le 3{,}03) = 0{,}9988(por la simetría de la normal).

b) Corrección de continuidad. De 30 a 40, ambos incluidos:P(30≤X≤40)≈P(29,5≤Y≤40,5)P(30 \le X \le 40) \approx P(29{,}5 \le Y \le 40{,}5)Tipificamos.z1=29,5−303,46≈−0,14,z2=40,5−303,46≈3,03z_1 = \frac{29{,}5 - 30}{3{,}46} \approx -0{,}14, \qquad z_2 = \frac{40{,}5 - 30}{3{,}46} \approx 3{,}03P(−0,14≤Z≤3,03)=P(Z≤3,03)−P(Z≤−0,14)=P(Z≤3,03)−(1−P(Z≤0,14))P(-0{,}14 \le Z \le 3{,}03) = P(Z \le 3{,}03) - P(Z \le -0{,}14) = P(Z \le 3{,}03) - \big(1 - P(Z \le 0{,}14)\big)=0,9988−(1−0,5557)=0,9988−0,4443=0,5545= 0{,}9988 - (1 - 0{,}5557) = 0{,}9988 - 0{,}4443 = 0{,}5545
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Consejo

El criterio da 0,5 puntos a identificar el modelo: di explícitamente que es una binomial B(50; 0,6)B(50;\ 0{,}6) y comprueba np≥5np \ge 5 y nq≥5nq \ge 5 antes de aproximar. La corrección de continuidad se aplica en los dos extremos y depende de si el valor está incluido: «al menos 20» empieza en 19,5, no en 20,5.
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