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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por las gráficas de las funciones

f(x) = x

g(x) = x/8

h(x) = \dfrac{1}{x^2}

y calcula el área de ese recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Puntos de corte:

f

h

(1, 1)

;

g

h

\left(2, \frac14\right)

;

f

g

en el origen. Área del recinto:

A = \int_0^1 \frac{7x}{8}\,dx + \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} - \frac{x}{8}\right)dx = \frac{7}{16} + \frac{5}{16} = \frac{3}{4}\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos rectas salen del origen:

y = x

por encima de

y = x/8

. La curva

y = 1/x^2

baja desde muy arriba y cierra el recinto por la derecha. Hay que encontrar dónde corta la curva a cada recta y dibujarlo: así se ve que el «techo» del recinto cambia. Hasta que la curva corta a

y = x

el techo es esa recta; después es la curva. El suelo es siempre

y = x/8

. Por eso el área se parte en dos integrales.

Desarrollo

Corte de $f$ y $h$ .

x = \frac{1}{x^2} \;\Longrightarrow\; x^3 = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1, \quad \text{punto } (1, 1)

Corte de $g$ y $h$ .

\frac{x}{8} = \frac{1}{x^2} \;\Longrightarrow\; x^3 = 8 \;\Longrightarrow\; x = 2, \quad \text{punto } \left(2, \tfrac{1}{4}\right)

Corte de $f$ y $g$ .

x = x/8

solo si

x = 0

: el origen.

El recinto. Es un triángulo curvilíneo de vértices

O(0, 0)

(1, 1)

\left(2, \frac14\right)

. Por abajo lo limita la recta

y = x/8

, de

O

\left(2, \frac14\right)

; por arriba, la recta

y = x

O

(1, 1)

y, desde ahí, la curva

y = 1/x^2

, que baja de

(1, 1)

\left(2, \frac14\right)

. Se dibujan las dos rectas desde el origen, la curva decreciente en el primer cuadrante y se sombrea la región encerrada entre las tres.

Área.

A = \int_0^1 \left(x - \frac{x}{8}\right)dx + \int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} - \frac{x}{8}\right)dx

Primera integral.

\int_0^1 \frac{7x}{8}\,dx = \left[\frac{7x^2}{16}\right]_0^1 = \frac{7}{16}

Segunda integral.

\int_1^2 \left(\frac{1}{x^2} - \frac{x}{8}\right)dx = \left[-\frac{1}{x} - \frac{x^2}{16}\right]_1^2 = \left(-\frac12 - \frac{4}{16}\right) - \left(-1 - \frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} + \frac{17}{16} = \frac{5}{16}

Total.

A = \frac{7}{16} + \frac{5}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\ \text{u}^2

Consejo

El criterio da 1,25 puntos al dibujo con los puntos de corte y 1,25 al área con la regla de Barrow. Sin dibujo es fácil escribir una sola integral entre 0 y 2, que es un error: el techo cambia en $x = 1$ . Fíjate también en que la integral de $1/x^2$ es $-1/x$ , no un logaritmo.