Problema resuelto de Matemáticas II: Límites y continuidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

a) Derivabilidad fuera de $x = 1$. En $x < 1$ y en $x > 1$ la función es un polinomio: continua y derivable para cualquier $A$ y $B$.

Continuidad en $x = 1$.$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + A = f(1), \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = B - A$$$$1 + A = B - A \;\Longrightarrow\; B = 2A + 1$$Derivadas laterales en $x = 1$. Derivando cada trozo:$$f'(x) = \begin{cases} 2x + A, & x < 1, \\ B, & x > 1, \end{cases} \qquad f'(1^-) = 2 + A, \quad f'(1^+) = B$$$$2 + A = B$$Resolvemos el sistema.$$2A + 1 = A + 2 \;\Longrightarrow\; A = 1, \qquad B = 3$$Comprobación. Con $A = 1$, $B = 3$: por la izquierda $f(1) = 1 + 1 = 2$ y por la derecha $3 - 1 = 2$ ✓; pendientes $2 + 1 = 3$ y $3$ ✓.

b) La función queda$$f(x) = \begin{cases} x^2 + x, & \text{si } x \le 1, \\ 3x - 1, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$Trozo de parábola ($x \le 1$). $y = x^2 + x$ abre hacia arriba; corta al eje $X$ en $x = 0$ y $x = -1$; su vértice está en $x = -\frac{1}{2}$, con $y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$, y en $x = 1$ vale 2 (punto incluido).

Trozo de recta ($x > 1$). $y = 3x - 1$ sale de $(1, 2)$ (sin incluirlo, aunque ya lo incluye la parábola) con pendiente 3; por ejemplo, pasa por $(2, 5)$.

Dibujo. Se trazan los ejes y, a la izquierda de $x = 1$, la parábola: baja desde arriba por la izquierda, corta al eje $X$ en $(-1, 0)$, toca su mínimo en $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$, vuelve a cortar en el origen y sube hasta $(1, 2)$. Desde ahí sigue la recta $y = 3x - 1$ hacia arriba a la derecha, pasando por $(2, 5)$. En $(1, 2)$ no hay pico ni salto: la recta es justo la tangente a la parábola en ese punto, y la curva se empalma suavemente.