Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

País Vasco · 2022 · Julio
Enunciado
Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta:r≡{3x+y+z=0x−y+2z=0.r \equiv \begin{cases} 3x + y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0. \end{cases}¿Existe algún valor de ss tal que el punto (−3,s,s)(-3, s, s) pertenezca a la recta? Razona la respuesta.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
r≡x=3t,  y=−5t,  z=−4tr \equiv x = 3t,\; y = -5t,\; z = -4t (pasa por el origen con director (3,−5,−4)(3, -5, -4)).

No existe ningún ss: el punto (−3,s,s)(-3, s, s) exigiría a la vez s=5s = 5 y s=4s = 4 (o, con las implícitas, s=9/2s = 9/2 y s=3s = 3).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

La recta es la intersección de dos planos que pasan por el origen (los dos tienen término independiente 0), así que el origen es un punto de la recta. El vector director es perpendicular a los dos normales: su producto vectorial.

Para la segunda pregunta basta sustituir el punto en las ecuaciones (paramétricas o implícitas) y ver si un mismo ss las cumple todas.
2

Desarrollo

Vector director.v⃗=(3,1,1)×(1,−1,2)=∣i⃗j⃗k⃗3111−12∣=(1⋅2−1⋅(−1),  1⋅1−3⋅2,  3⋅(−1)−1⋅1)=(3,−5,−4)\vec v = (3, 1, 1) \times (1, -1, 2) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 2 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 1 - 3\cdot 2,\; 3\cdot(-1) - 1\cdot 1\big) = (3, -5, -4)Un punto. P(0,0,0)P(0, 0, 0) cumple las dos ecuaciones.

Ecuaciones paramétricas.r≡{x=3t,y=−5t,z=−4t,t∈Rr \equiv \begin{cases} x = 3t, \\ y = -5t, \\ z = -4t, \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}Comprobación. 3(3t)+(−5t)+(−4t)=03(3t) + (-5t) + (-4t) = 0 ✓ y 3t−(−5t)+2(−4t)=03t - (-5t) + 2(-4t) = 0 ✓.

¿Está (−3,s,s)(-3, s, s) en rr? Igualamos:3t=−3  ⇒  t=−1,s=−5t=5,s=−4t=43t = -3 \;\Rightarrow\; t = -1, \qquad s = -5t = 5, \qquad s = -4t = 4La segunda y la tercera coordenada exigen s=5s = 5 y s=4s = 4 a la vez: imposible.

Otra forma (implícitas). Sustituyendo (−3,s,s)(-3, s, s):3(−3)+s+s=0  ⇒  s=92,−3−s+2s=0  ⇒  s=33(-3) + s + s = 0 \;\Rightarrow\; s = \frac{9}{2}, \qquad -3 - s + 2s = 0 \;\Rightarrow\; s = 3Otra vez dos valores distintos.
3

Consejo

El criterio da 1,5 puntos a las paramétricas y 1 a la respuesta razonada. Comprueba siempre el vector director sustituyéndolo en las implícitas: un signo mal en el producto vectorial es el fallo más frecuente. Y en la segunda parte no basta con decir «no»: enseña los dos valores incompatibles de ss.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano π≡2x−y+2z−3=0\pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0 y la recta r≡x−12=y1=z−2m−2r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{m - 2}…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Rectas y planos
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera la recta r≡{x=−2λy=−1+2λz=3+2λy el planoπ≡x−2y+z−3=0.r \equiv \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases} \qquad\text{y el plano}\qquad \pi \equiv x - 2y + z - 3 = 0.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioRectas y planos
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos P(4,−2,3)P(4,-2,3) y Q(6,2,1)Q(6,2,1). a) [1 punto] Halla la ecuación…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 1Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera los planos π1≡2x−y−z=7\pi_1 \equiv 2x - y - z = 7,   π2≡x−2y+z=3\;\pi_2 \equiv x - 2y + z = 3…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Geometría →