Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: DeterminantesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

Calcula de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor del determinante

\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix},

sabiendo que

\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ 2x & 2y & 2z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 6.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -3

(Se usan: sacar factor común de una fila, sumar a una fila un múltiplo de otra e intercambiar dos filas.)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No hay nada que desarrollar: se trata de ir transformando el determinante conocido hasta llegar al que nos piden, anotando qué le pasa al valor en cada paso. Las tres propiedades que se usan:

sacar un factor común de una fila multiplica el determinante por ese factor;
restar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante;
intercambiar dos filas le cambia el signo.

Llamamos

d

al determinante buscado.

Desarrollo

Paso 1: sacamos el 2 de la segunda fila. Todos sus elementos llevan el factor 2:

6 = \begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ 2x & 2y & 2z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix}

Paso 2: a la tercera fila le restamos la segunda (

F_3 \to F_3 - F_2

). No cambia el valor:

\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p + x & q + y & r + z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix}

Paso 3: a la primera fila le restamos la (nueva) tercera (

F_1 \to F_1 - F_3

). Tampoco cambia:

\begin{vmatrix} p + a & q + b & r + c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix}

Paso 4: intercambiamos la segunda y la tercera fila. El determinante cambia de signo:

\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -d

Juntamos. Encadenando los cuatro pasos:

6 = 2\cdot(-d) = -2d \;\Longrightarrow\; d = -3

Consejo

Aquí la explicación vale más que la cuenta: el criterio da 1 punto al valor y 1,5 a la justificación de las propiedades. Escribe en cada paso qué haces con las filas y qué le ocurre al determinante (nada, cambia de signo, se multiplica). El error típico es olvidar el cambio de signo del intercambio de filas y dar $d = 3$ .