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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

Una urna S contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna T, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras?

b) Si las dos bolas extraídas son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la T?

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Resultado

P(\text{dos negras}) = \dfrac{101}{840} \approx 0{,}120

.

b)

P(T \mid \text{dos negras}) = \dfrac{56}{101} \approx 0{,}554

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero se elige la urna (cada una con probabilidad

\frac12

) y luego se sacan dos bolas sin reemplazamiento de esa urna. Un diagrama de árbol lo ordena:

a) es una probabilidad total: se suman las ramas que acaban en «dos negras»;
b) es una probabilidad «hacia atrás» (conocemos el resultado y preguntamos por la urna): el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

S

T

: urna elegida;

NN

: las dos bolas son negras.

P(S) = P(T) = \frac12

.

Dos negras en cada urna. Sin reemplazamiento, la segunda extracción ya tiene una bola menos:

P(NN \mid S) = \frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}, \qquad P(NN \mid T) = \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

a) Probabilidad total.

P(NN) = P(S)\,P(NN \mid S) + P(T)\,P(NN \mid T) = \frac12\cdot\frac{3}{28} + \frac12\cdot\frac{2}{15} = \frac{3}{56} + \frac{1}{15}

P(NN) = \frac{45}{840} + \frac{56}{840} = \frac{101}{840} \approx 0{,}1202

b) Teorema de Bayes.

P(T \mid NN) = \frac{P(T)\,P(NN \mid T)}{P(NN)} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{101}{840}} = \frac{56}{840}\cdot\frac{840}{101} = \frac{56}{101} \approx 0{,}5545

Tiene sentido que pase de

\frac12

: la urna T tiene una proporción de negras (

\frac{4}{10}

) algo mayor que la S (

\frac38

), así que sacar dos negras hace un poco más probable que fuera la T.

Consejo

El criterio da 0,5 puntos al planteamiento (dibuja el árbol con sus probabilidades) y 1 a cada apartado. Las bolas se sacan juntas, que equivale a sin reemplazamiento: en la segunda extracción quedan una bola menos y una negra menos. El fallo típico es usar $\left(\frac38\right)^2$ .