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IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

País Vasco · 2022 · Julio
Enunciado
Calcula ∫ln⁡(x2−1) dx\displaystyle\int \ln(x^2 - 1)\,dx.
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Resultado
∫ln⁡(x2−1) dx=xln⁡(x2−1)−2x+ln⁡∣x+1x−1∣+C\int \ln(x^2 - 1)\,dx = x\ln(x^2 - 1) - 2x + \ln\left|\frac{x + 1}{x - 1}\right| + C(válida donde está definido el logaritmo, ∣x∣>1|x| > 1).
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Estrategia

Un logaritmo «solo» se integra por partes, tomando el logaritmo como uu y dv=dxdv = dx: al derivarlo desaparece y queda una función racional. Esa integral racional tiene numerador y denominador del mismo grado, así que primero se divide y luego se descompone en fracciones simples.
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Desarrollo

Integración por partes.u=ln⁡(x2−1)  ⇒  du=2xx2−1 dx,dv=dx  ⇒  v=xu = \ln(x^2 - 1) \;\Rightarrow\; du = \frac{2x}{x^2 - 1}\,dx, \qquad dv = dx \;\Rightarrow\; v = x∫ln⁡(x2−1) dx=xln⁡(x2−1)−∫x⋅2xx2−1 dx=xln⁡(x2−1)−∫2x2x2−1 dx\int \ln(x^2 - 1)\,dx = x\ln(x^2 - 1) - \int x\cdot\frac{2x}{x^2 - 1}\,dx = x\ln(x^2 - 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 - 1}\,dxDivisión. Como los grados son iguales:2x2x2−1=2(x2−1)+2x2−1=2+2x2−1\frac{2x^2}{x^2 - 1} = \frac{2(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = 2 + \frac{2}{x^2 - 1}Fracciones simples. Con x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1):2(x−1)(x+1)=Mx−1+Nx+1  ⟹  2=M(x+1)+N(x−1)\frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{M}{x - 1} + \frac{N}{x + 1} \;\Longrightarrow\; 2 = M(x + 1) + N(x - 1)Con x=1x = 1: 2=2M2 = 2M, M=1M = 1. Con x=−1x = -1: 2=−2N2 = -2N, N=−1N = -1. Por tanto2x2x2−1=2+1x−1−1x+1\frac{2x^2}{x^2 - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}Integral racional.∫2x2x2−1 dx=2x+ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣\int \frac{2x^2}{x^2 - 1}\,dx = 2x + \ln|x - 1| - \ln|x + 1|Juntamos.∫ln⁡(x2−1) dx=xln⁡(x2−1)−2x−ln⁡∣x−1∣+ln⁡∣x+1∣+C=xln⁡(x2−1)−2x+ln⁡∣x+1x−1∣+C\int \ln(x^2 - 1)\,dx = x\ln(x^2 - 1) - 2x - \ln|x - 1| + \ln|x + 1| + C = x\ln(x^2 - 1) - 2x + \ln\left|\frac{x + 1}{x - 1}\right| + CComprobación (derivando).ddx[xln⁡(x2−1)−2x−ln⁡∣x−1∣+ln⁡∣x+1∣]=ln⁡(x2−1)+2x2x2−1−2−1x−1+1x+1\frac{d}{dx}\left[x\ln(x^2 - 1) - 2x - \ln|x - 1| + \ln|x + 1|\right] = \ln(x^2 - 1) + \frac{2x^2}{x^2 - 1} - 2 - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}y como −1x−1+1x+1=−2x2−1-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{-2}{x^2 - 1} y 2x2−2x2−1=2\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1} = 2, todo se reduce a ln⁡(x2−1)\ln(x^2 - 1) ✓.
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Consejo

El criterio da 1 punto a aplicar bien la fórmula de partes y 1,5 a la integral racional que resulta. Antes de descomponer en fracciones simples, mira los grados: si el numerador no es de menor grado, divide primero. Y no olvides la constante de integración ni las barras de valor absoluto en los logaritmos.
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