Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la función

f(x) = 2x^3 - 3x + 1

que son paralelas a la recta

y = 3x - 2

. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Tangentes paralelas a $y = 3x - 2$ : $y = 3x - 3$ (en el punto $(1, 0)$ ) e $y = 3x + 5$ (en el punto $(-1, 2)$ ).
$f$ crece en $\left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$ y decrece en $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, y la pendiente de la tangente en

x = a

f'(a)

. Así que buscamos los puntos donde

f'(x) = 3

y escribimos la tangente en cada uno con

y - f(a) = f'(a)(x - a)

.

Para la monotonía, se estudia el signo de $f'$ : se anula en dos puntos y es una parábola que se abre hacia arriba.

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 6x^2 - 3

Puntos de tangencia. La recta

y = 3x - 2

tiene pendiente 3:

6x^2 - 3 = 3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 \ \text{ o } \ x = -1

Tangente en $x = 1$ .

f(1) = 2 - 3 + 1 = 0

y - 0 = 3(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 3x - 3

Tangente en $x = -1$ .

f(-1) = -2 + 3 + 1 = 2

y - 2 = 3(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = 3x + 5

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0{,}707

Signo de $f'$ .

f'(x) = 6x^2 - 3

es una parábola con las ramas hacia arriba, positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas. Comprobando con un valor en cada tramo:

f'(-1) = 3 > 0

f'(0) = -3 < 0

f'(1) = 3 > 0

	$\left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$
signo de $f'$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

(En

x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

hay un máximo relativo y en

x = \frac{\sqrt{2}}{2}

, un mínimo relativo.)

Consejo

El criterio reparte 0,5 por la derivada, 1 por las dos tangentes y 1 por los intervalos. No te quedes con una sola tangente: $x^2 = 1$ da dos soluciones. Y al escribir la recta usa $f(a)$ , no la ordenada de la recta dada; una tangente paralela nunca es la misma recta desplazada «a ojo».