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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro

\alpha

\begin{cases} \alpha x + 2y - 2z = 2, \\ 2x + 2y - 2z = \alpha, \\ \alpha x + 2y - z = 1. \end{cases}

Resuelve el sistema para

\alpha = 1

, si es posible.

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Resultado

Si $\alpha \neq 2$ : sistema compatible determinado.
Si $\alpha = 2$ : compatible indeterminado, soluciones $(\lambda, -\lambda, -1)$ .
No hay ningún valor de $\alpha$ para el que sea incompatible.
Para $\alpha = 1$ : $x = -1$ , $y = \dfrac{1}{2}$ , $z = -1$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, así que la herramienta es el teorema de Rouché-Frobenius empezando por el determinante de la matriz de coeficientes:

donde el determinante no se anula, el rango de $A$ es 3, igual que el de la ampliada y el número de incógnitas: compatible determinado;
en los valores que lo anulan hay que mirar con calma los rangos de $A$ y de $A^*$ .

Después, con

\alpha = 1

(que no anula el determinante), el sistema tiene solución única; restando ecuaciones sale casi solo.

Desarrollo

Matrices del sistema.

A = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ \alpha & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 & \alpha \\ \alpha & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)

Determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

|A| = \alpha\big(2\cdot(-1) - (-2)\cdot 2\big) - 2\big(2\cdot(-1) - (-2)\,\alpha\big) + (-2)\big(2\cdot 2 - 2\alpha\big)

|A| = 2\alpha - 2(2\alpha - 2) - 2(4 - 2\alpha) = 2\alpha - 4\alpha + 4 - 8 + 4\alpha = 2\alpha - 4

Se anula solo si

\alpha = 2

.

Caso $\alpha \neq 2$ .

|A| \neq 0

, así que

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =

número de incógnitas: el sistema es compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = 2$ . El sistema queda

\begin{cases} 2x + 2y - 2z = 2, \\ 2x + 2y - 2z = 2, \\ 2x + 2y - z = 1. \end{cases}

Las dos primeras ecuaciones son idénticas (también en la columna de términos independientes). El menor

\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -2 + 4 = 2 \neq 0

(filas 1 y 3, columnas de

y

z

) da

\operatorname{rg} A = 2

, y como la ampliada tiene dos filas iguales,

\operatorname{rg} A^* = 2

. Con

2 < 3

incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro).

Por si se quiere ver: restando la primera ecuación de la tercera,

z = -1

; y entonces

2x + 2y + 2 = 2

, o sea

y = -x

. Las soluciones son

(x, y, z) = (\lambda, -\lambda, -1)

\lambda \in \mathbb{R}

.

Resolución para $\alpha = 1$ . Como

1 \neq 2

, el sistema es compatible determinado:

\begin{cases} x + 2y - 2z = 2, \\ 2x + 2y - 2z = 1, \\ x + 2y - z = 1. \end{cases}

Restamos la primera de la segunda:

x = 1 - 2 = -1

.

Restamos la primera de la tercera:

z = 1 - 2 = -1

.

Sustituimos en la primera:

-1 + 2y + 2 = 2 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}

.

Comprobación. Segunda ecuación:

-2 + 1 + 2 = 1

✓. Tercera:

-1 + 1 + 1 = 1

✓.

Consejo

El criterio de corrección reparte así: 1 punto por el determinante y la discusión donde no se anula, 0,5 por el caso $\alpha = 2$ y 1 por resolver con $\alpha = 1$ . El caso que anula el determinante vale medio punto: no lo despaches con «es incompatible» sin calcular los rangos; aquí, de hecho, es compatible indeterminado. Y comprueba la solución en las tres ecuaciones.