Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si el sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene 2 blancos, 2 negros y 5 con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un pañuelo de otro cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 4 negros y 4 con cuadros blancos y negros. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero.

b) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro.

c) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \tfrac{97}{135} \approx 0{,}7185}

\boxed{\text{b)}\ \tfrac{23}{27} \approx 0{,}8519}

\boxed{\text{c)}\ P(N \mid c) = \tfrac{9}{34} \approx 0{,}2647}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero el sombrero y, según su color, el pañuelo sale de un cajón u otro. Lo natural es un diagrama de árbol con las probabilidades condicionadas en las segundas ramas.

Lo delicado es leer bien los sucesos, porque el pañuelo de cuadros lleva los dos colores. En a), "algún color distinto del del sombrero" incluye los cuadros en ambos casos. En b) es más cómodo el contrario: que no aparezca el negro en ninguno de los dos. En c) se pide una probabilidad "a posteriori", que es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

B

= "sombrero blanco",

N

= "sombrero negro"; para el pañuelo,

b

= blanco,

n

= negro,

c

= de cuadros.

P(B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \qquad P(N) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Primer cajón (9 pañuelos) y segundo cajón (10 pañuelos):

P(b \mid B) = \frac{2}{9},\quad P(n \mid B) = \frac{2}{9},\quad P(c \mid B) = \frac{5}{9} \qquad\qquad P(b \mid N) = \frac{2}{10},\quad P(n \mid N) = \frac{4}{10},\quad P(c \mid N) = \frac{4}{10}

Las seis ramas del árbol (probabilidad de cada camino = producto):

P(B \cap b) = \frac{4}{27},\quad P(B \cap n) = \frac{4}{27},\quad P(B \cap c) = \frac{10}{27},\quad P(N \cap b) = \frac{1}{15},\quad P(N \cap n) = \frac{2}{15},\quad P(N \cap c) = \frac{2}{15}

(Suman

\frac{18}{27} + \frac{5}{15} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1

✓.)

a) Con sombrero blanco, aparece un color distinto (el negro) si el pañuelo es negro o de cuadros. Con sombrero negro, aparece otro color (el blanco) si el pañuelo es blanco o de cuadros. Sumando esos caminos (probabilidad total):

P = \frac{2}{3}\cdot\frac{2 + 5}{9} + \frac{1}{3}\cdot\frac{2 + 4}{10} = \frac{14}{27} + \frac{1}{5} = \frac{70 + 27}{135} = \frac{97}{135} \approx 0{,}7185

Comprobación por el contrario: solo falla si el pañuelo es liso y del mismo color que el sombrero,

1 - \left(\frac{4}{27} + \frac{2}{15}\right) = 1 - \frac{20 + 18}{135} = \frac{97}{135}

✓.

b) El color negro aparece si el sombrero es negro, o si el pañuelo es negro o de cuadros. El suceso contrario es que ninguno tenga negro: sombrero blanco y pañuelo blanco liso.

P(\text{algún negro}) = 1 - P(B \cap b) = 1 - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{9} = 1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27} \approx 0{,}8519

c) Por el teorema de la probabilidad total, el pañuelo es de cuadros con probabilidad

P(c) = P(B)\,P(c \mid B) + P(N)\,P(c \mid N) = \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{9} + \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{10} = \frac{10}{27} + \frac{2}{15} = \frac{50 + 18}{135} = \frac{68}{135}

y por el teorema de Bayes:

P(N \mid c) = \frac{P(N)\,P(c \mid N)}{P(c)} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{68}{135}} = \frac{18}{68} = \frac{9}{34} \approx 0{,}2647

Tiene sentido que sea bastante menor que

\frac{1}{2}

: los sombreros blancos son el doble que los negros y, además, su cajón tiene más proporción de pañuelos de cuadros (

\frac{5}{9}

frente a

\frac{4}{10}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El pañuelo de cuadros tiene los dos colores: cuenta como "otro color" tanto con sombrero blanco como con sombrero negro, y en b) cuenta como "aparece el negro". Olvidarlo es el error más frecuente.

Ojo también con los tamaños de los cajones: el primero tiene 9 pañuelos y el segundo 10. Dibuja el árbol con todas las ramas antes de sumar y comprueba que los caminos suman 1.

Paso 1 de 3

¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.

¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.

Sigue practicando

Probabilidad

Sabiendo que