Rectas y planos

Datos. $r_1$ pasa por $A(1, 1, -1)$ con director $\vec{v} = (1, -1, 0)$; la normal de $\pi$ es $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

a) Sustituyendo el punto genérico de $r_1$ en $\pi$:$$(1 + \lambda) + (1 - \lambda) + (-1) = 1 \quad \text{para todo } \lambda \in \mathbb{R}$$Todos los puntos de $r_1$ cumplen la ecuación de $\pi$: $r_1 \subset \pi$. (Equivalentemente: $\vec{v}\cdot\vec{n} = 1 - 1 + 0 = 0$ y $A \in \pi$.)

Para el punto: $0 + 1 + 0 = 1$ ✓, luego $P \in \pi$.

b) Sea $s$ la recta buscada, con director $\vec{w}$. Como $s \subset \pi$, $\vec{w} \perp \vec{n}$; como $s \perp r_1$, $\vec{w} \perp \vec{v}$. Tomamos$$\vec{w} = \vec{n} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 1)\,\vec{i} - (0 - 1)\,\vec{j} + (-1 - 1)\,\vec{k} = (1,\ 1,\ -2)$$Comprobación: $\vec{w}\cdot\vec{n} = 1 + 1 - 2 = 0$ ✓ y $\vec{w}\cdot\vec{v} = 1 - 1 + 0 = 0$ ✓. Como pasa por $P \in \pi$ y su director es paralelo a $\pi$, la recta está contenida en $\pi$:$$s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = -2\mu \end{array}\right. \quad \mu \in \mathbb{R} \qquad\text{o, en implícitas,}\qquad s \equiv \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x - y = -1 \end{array}\right.$$Al estar las dos en el mismo plano y ser perpendiculares, $s$ corta a $r_1$: en $\lambda = -\frac{1}{2}$, $\mu = \frac{1}{2}$, es decir, en el punto $Q\left(\frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ -1\right)$ (cumple las dos ecuaciones).

c) La recta $r_2$ pasa por $P(0, 1, 0)$ y tiene el mismo director $\vec{v} = (1, -1, 0)$:$$r_2 \equiv \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 0 \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}$$($P \notin r_1$, porque su tercera coordenada es $0 \neq -1$, así que $r_1$ y $r_2$ son paralelas distintas.)

Área del cuadrado. Dos lados de un cuadrado que estén sobre dos rectas paralelas son lados opuestos, así que la longitud $\ell$ del lado es la distancia entre $r_1$ y $r_2$, que es la distancia de $P$ a $r_1$:$$\ell = d(P, r_1) = \frac{\left|\overrightarrow{AP} \times \vec{v}\right|}{|\vec{v}|}, \qquad \overrightarrow{AP} = P - A = (-1,\ 0,\ 1)$$$$\overrightarrow{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 1)\,\vec{i} - (0 - 1)\,\vec{j} + (1 - 0)\,\vec{k} = (1,\ 1,\ 1)$$$$\ell = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{Área} = \ell^2 = \frac{3}{2} \ \text{u}^2$$Comprobación con el punto $Q$ de b), que es el pie de la perpendicular desde $P$ a $r_1$: $\overrightarrow{PQ} = \left(\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ -1\right)$ y $|\overrightarrow{PQ}|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}$ ✓.