Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de 9450 euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de 45 años. Sabiendo que en el reparto del premio la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de 420 euros, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio.

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Resultado

\boxed{\text{Pablo: 16 años, 3360 euros}}

\boxed{\text{Alejandro: 15 años, 3150 euros}}

\boxed{\text{Alicia: 14 años, 2940 euros}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las incógnitas naturales son las tres edades. Dos frases del enunciado se traducen directamente en ecuaciones. La tercera habla de dinero, así que antes hay que entender el reparto proporcional: si las edades suman 45 y el premio es de 9450 euros, a cada año de edad le tocan

9450 / 45

euros. Con eso, la diferencia de 420 euros se convierte en una diferencia de edades.

Después se resuelve el sistema (sale casi solo restando ecuaciones) y, con las edades, el dinero de cada uno.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= edad de Pablo,

y

= edad de Alejandro,

z

= edad de Alicia (en años).

Reparto proporcional. Repartir de forma directamente proporcional a las edades significa que cada uno recibe la misma cantidad por cada año de edad. Como entre los tres suman 45 años:

\text{euros por año} = \frac{9450}{45} = 210 \qquad\Longrightarrow\qquad \text{Pablo recibe } 210x,\ \text{Alejandro } 210y,\ \text{Alicia } 210z

Ecuaciones.

"La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la de Alicia": $x + y = 2z + 3$ .
"La edad de los tres juntos es de 45 años": $x + y + z = 45$ .
"La diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de 420 euros": $210x - 210z = 420$ , es decir, $x - z = 2$ .

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 45 \\ x + y - 2z = 3 \\ x - z = 2 \end{array}\right.

Resolución. Restando la segunda ecuación a la primera desaparecen

x

y

3z = 42 \;\Longrightarrow\; z = 14

De la tercera,

x = z + 2 = 16

, y de la primera,

y = 45 - 16 - 14 = 15

.

(El sistema es compatible determinado: el determinante de coeficientes es

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0

.)

Dinero de cada uno.

\text{Pablo: } 210 \cdot 16 = 3360 \text{ euros}, \quad \text{Alejandro: } 210 \cdot 15 = 3150 \text{ euros}, \quad \text{Alicia: } 210 \cdot 14 = 2940 \text{ euros}

Comprobación.

16 + 15 = 31 = 2 \cdot 14 + 3

✓;

16 + 15 + 14 = 45

✓;

3360 - 2940 = 420

✓; y

3360 + 3150 + 2940 = 9450

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La corrección da 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada: escribe qué significa cada incógnita y de qué frase sale cada ecuación. "Excede en tres años al doble" es $x + y = 2z + 3$ , no $2(x + y) = z + 3$ : lee despacio quién es "el doble" de quién.

No olvides la segunda parte de la pregunta: además de las edades, piden el dinero de cada uno.