Probabilidad

a) Sea $X$ = "número de mujeres entre los 10 consejeros". Con $p = 0{,}277$ y $q = 1 - p = 0{,}723$,$$X \sim B(10;\ 0{,}277), \qquad P(X = k) = \binom{10}{k} p^k q^{10-k}$$La mitad son 5 mujeres:$$P(X = 5) = \binom{10}{5}\, 0{,}277^5 \cdot 0{,}723^5 = 252 \cdot 0{,}0016308 \cdot 0{,}19756 \approx 0{,}0812$$b) "Al menos un hombre" es el contrario de "ningún hombre", es decir, de "las 10 son mujeres":$$P(\text{al menos un hombre}) = 1 - P(X = 10) = 1 - 0{,}277^{10} \approx 1 - 0{,}0000027 \approx 0{,}999997$$Prácticamente seguro, como cabía esperar con menos de un 28 % de mujeres.

c) Ahora $Y$ = "número de mujeres entre 200 consejeros", $Y \sim B(200;\ 0{,}277)$. Como$$np = 200 \cdot 0{,}277 = 55{,}4 > 5 \qquad\text{y}\qquad nq = 200 \cdot 0{,}723 = 144{,}6 > 5,$$se puede aproximar por una normal con$$\mu = np = 55{,}4, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot 0{,}277 \cdot 0{,}723} = \sqrt{40{,}0542} \approx 6{,}33$$$Y' \sim N(55{,}4;\ 6{,}33)$. Un 35 % de 200 son $0{,}35 \cdot 200 = 70$ mujeres. "Como mínimo 70" es $Y \geq 70$, y con la corrección por continuidad el valor 70 abarca el intervalo $[69{,}5;\ 70{,}5]$:$$P(Y \geq 70) \approx P(Y' \geq 69{,}5) = P\left(Z \geq \frac{69{,}5 - 55{,}4}{6{,}33}\right) = P(Z \geq 2{,}23)$$$$= 1 - P(Z < 2{,}23) = 1 - 0{,}9871 = 0{,}0129$$Es decir, alrededor de un 1,3 %: con la proporción real del 27,7 %, sería raro que un congreso de 200 consejeros alcanzara un 35 % de mujeres.

(Sin la corrección por continuidad saldría $P(Z \geq 2{,}31) = 1 - 0{,}9896 = 0{,}0104$; el valor con corrección es el más ajustado.)