Áreas, volúmenes y distancias

a) Normales de los dos planos: $\vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, -1)$. Un director de $r$ es$$\vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (1 - 0)\,\vec{i} - (-2 - 0)\,\vec{j} + (0 + 1)\,\vec{k} = (1,\ 2,\ 1)$$Despejando $y = 2x - 10$ y $z = x + 90$, y llamando $x = t$:$$r \equiv (x,\ y,\ z) = (t,\ -10 + 2t,\ 90 + t), \quad t \in \mathbb{R}$$que, efectivamente, tiene director $(1, 2, 1)$. La partícula está en el plano $z = 0$ cuando $90 + t = 0$, es decir, $t = -90$:$$(x,\ y,\ z) = (-90,\ -190,\ 0)$$Comprobación: $2(-90) - (-190) = 10$ ✓ y $-90 - 0 = -90$ ✓.

b) Un punto genérico de la trayectoria es $Q(t,\ -10 + 2t,\ 90 + t)$ y$$\overrightarrow{PQ} = (t - 1,\ 2t - 11,\ t + 89)$$El punto más próximo a $P$ es aquel en que $\overrightarrow{PQ}$ es perpendicular a la recta, $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{u} = 0$:$$(t - 1) + 2(2t - 11) + (t + 89) = 6t + 66 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -11$$$$Q(-11,\ -32,\ 79)$$¿Por qué es el más cercano? Para cualquier otro punto $X$ de $r$, el triángulo $PQX$ es rectángulo en $Q$, y la hipotenusa $PX$ es mayor que el cateto $PQ$.

Comprobación: $2(-11) - (-32) = 10$ ✓, $-11 - 79 = -90$ ✓ y $\overrightarrow{PQ} = (-12, -33, 78)$ cumple $-12 - 66 + 78 = 0$ ✓. La distancia mínima es $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{144 + 1089 + 6084} = \sqrt{7317} \approx 85{,}54$ unidades.

(Otra forma equivalente: cortar $r$ con el plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$, $x + 2y + z - 4 = 0$.)

c) El plano $x + y = 2$ tiene normal $\vec{n} = (1, 1, 0)$. Si $\alpha$ es el ángulo entre la recta y el plano, el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{n}$ es $90^\circ - \alpha$, luego$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|} = \frac{|1 + 2 + 0|}{\sqrt{1 + 4 + 1}\,\sqrt{1 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\alpha = \operatorname{arcsen}\frac{\sqrt{3}}{2} = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$$