Derivadas y aplicaciones

a) Continuidad en $x = 0$. Cuando $x \to 0$, $-\frac{1}{x^2} \to -\infty$, luego $e^{-1/x^2} \to 0$; y además $x^3 \to 0$. El producto de dos funciones que tienden a 0 tiende a 0:$$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^3 e^{-1/x^2} = 0 \cdot 0 = 0 = f(0)$$El límite existe, coincide con el valor de la función, y $f$ es continua en $x = 0$.

Derivabilidad en $x = 0$. Por la definición de derivada:$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 e^{-1/h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 e^{-1/h^2} = 0 \cdot 0 = 0$$El límite existe y es finito (vale lo mismo por la izquierda y por la derecha, porque $h^2$ y $e^{-1/h^2}$ no dependen del signo de $h$), así que $f$ es derivable en $x = 0$ con $f'(0) = 0$.

b) Para $x \neq 0$, como $(-x)^2 = x^2$:$$f(-x) = (-x)^3 e^{-1/(-x)^2} = -x^3 e^{-1/x^2} = -f(x)$$y en $x = 0$ también $f(-0) = 0 = -f(0)$. Por tanto $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$: $f$ es impar (simétrica respecto del origen). No es par, porque por ejemplo $f(1) = e^{-1} \neq -e^{-1} = f(-1)$.

c) En $[1, 2]$ es $x \neq 0$, así que$$\frac{f(x)}{x^6} = \frac{x^3 e^{-1/x^2}}{x^6} = \frac{e^{-1/x^2}}{x^3}$$Con el cambio $u = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$ se tiene $du = 2x^{-3}\,dx = \frac{2}{x^3}\,dx$, es decir, $\frac{dx}{x^3} = \frac{du}{2}$:$$\int \frac{e^{-1/x^2}}{x^3}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{-1/x^2} + C$$(Comprobación derivando: $\left(\frac{1}{2}e^{-1/x^2}\right)' = \frac{1}{2}e^{-1/x^2}\cdot\frac{2}{x^3} = \frac{e^{-1/x^2}}{x^3}$ ✓.)

Por la regla de Barrow (el integrando es continuo en $[1, 2]$):$$\int_1^2 \frac{f(x)}{x^6}\,dx = \left[\frac{1}{2}e^{-1/x^2}\right]_1^2 = \frac{1}{2}\left(e^{-1/4} - e^{-1}\right) \approx \frac{1}{2}(0{,}7788 - 0{,}3679) \approx 0{,}2055$$Es positivo, como debe ser: el integrando es positivo en todo el intervalo.