Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2m & 1 \\ m & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2m & 1 & 1 \\ m & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\,(2 - 1) + 2m\,(m + 1) + 1\,(-m - 2) = 1 + 2m^2 + 2m - m - 2 = 2m^2 + m - 1$$$$2m^2 + m - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \;\Longrightarrow\; m = \frac{1}{2} \quad\text{o}\quad m = -1$$Es decir, $|A| = (2m - 1)(m + 1)$.

Caso $m \neq -1$ y $m \neq \frac{1}{2}$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $m = -1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = 1 \\ -x + 2y - z = -1 \\ x - y + z = 1 \end{array}\right.$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$ (filas 1 y 3, columnas de $x$ e $y$), así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada basta orlar ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$porque la primera y la tercera columna son iguales (la de $x$ coincide con la de términos independientes). Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). De hecho, restando la tercera ecuación a la primera sale $3y = 0$, y las soluciones son $(1 - \lambda,\ 0,\ \lambda)$.

Caso $m = \frac{1}{2}$. La primera ecuación pasa a ser $x - y + z = 1$, idéntica a la tercera. Quedan dos ecuaciones:$$\left\{\begin{array}{l} x - y + z = 1 \\ \frac{1}{2}x + 2y - z = -1 \end{array}\right.$$que no son proporcionales (el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ \frac{1}{2} & 2 \end{vmatrix} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \neq 0$). Así $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado.

Resumen. Nunca es incompatible: si $m \neq -1,\ \frac{1}{2}$, compatible determinado; si $m = -1$ o $m = \frac{1}{2}$, compatible indeterminado.

b) Con $m = \frac{1}{2}$ nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y multiplicamos la segunda por 2:$$\left\{\begin{array}{l} x - y + z = 1 \\ x + 4y - 2z = -2 \end{array}\right.$$Tomamos $y = \lambda$ como parámetro: $x + z = 1 + \lambda$ y $x - 2z = -2 - 4\lambda$. Restando la segunda a la primera:$$3z = 3 + 5\lambda \;\Longrightarrow\; z = 1 + \frac{5}{3}\lambda, \qquad x = 1 + \lambda - z = -\frac{2}{3}\lambda$$$$(x,\ y,\ z) = \left(-\frac{2}{3}\lambda,\ \lambda,\ 1 + \frac{5}{3}\lambda\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Si se prefiere sin fracciones, con $\lambda = 3t$: $(x, y, z) = (-2t,\ 3t,\ 1 + 5t)$, $t \in \mathbb{R}$.

Comprobación con $m = \frac{1}{2}$: primera (y tercera) ecuación, $-2t - 3t + 1 + 5t = 1$ ✓; segunda, $\frac{1}{2}(-2t) + 2(3t) - (1 + 5t) = -t + 6t - 1 - 5t = -1$ ✓.