Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sabiendo que

P(A \mid B) = \dfrac{1}{3}

P(B \mid A) = \dfrac{1}{14}

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{7}{15}

, se pide:

a) (1,5 puntos) Probar razonadamente que

P(A \cap B) = \dfrac{1}{30}

.

b) (1 punto) Calcular

P(A)

P(B)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } P(A \cap B) = \frac{1}{30} \qquad \text{b) } P(A) = \frac{7}{15}, \quad P(B) = \frac{1}{10}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las tres probabilidades conocidas giran en torno a una sola incógnita,

x = P(A \cap B)

Por la definición de probabilidad condicionada, $P(B)$ y $P(A)$ se escriben en función de $x$ .
Por las leyes de De Morgan, $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ , así que el tercer dato da $P(A \cup B)$ .
La fórmula de la unión, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , se convierte en una ecuación con $x$ .

Resolviendo esa ecuación queda probado a) y, de paso, sale b).

Desarrollo

a) Sea

x = P(A \cap B)

. De las probabilidades condicionadas:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; P(B) = 3x

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{14} \;\Longrightarrow\; P(A) = 14x

Por De Morgan,

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

, luego

P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}

Sustituyendo en la fórmula de la unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \;\Longrightarrow\; \frac{8}{15} = 14x + 3x - x = 16x \;\Longrightarrow\; x = \frac{8}{15 \cdot 16} = \frac{1}{30}

Es decir,

P(A \cap B) = \dfrac{1}{30}

, como se quería probar.

b) Con

x = \frac{1}{30}

P(A) = 14 \cdot \frac{1}{30} = \frac{7}{15}, \qquad P(B) = 3 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{10}

Comprobación.

P(A \mid B) = \frac{1/30}{1/10} = \frac{1}{3}

✓,

P(B \mid A) = \frac{1/30}{7/15} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}

✓ y

P(A \cup B) = \frac{14}{30} + \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}

, de modo que

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{7}{15}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El paso clave es reconocer $\overline{A} \cap \overline{B}$ como el complementario de $A \cup B$ (De Morgan). Confundirlo con $\overline{A \cap B}$ lleva a una ecuación distinta y a un resultado que no es $\frac{1}{30}$ .

Cuando el enunciado te da el resultado («pruebe que…»), la nota está en el razonamiento: escribe de dónde sale cada igualdad, no basta con comprobar que $\frac{1}{30}$ encaja.