Rectas y planos

a) Los normales son $\vec{n}_1 = (0, 1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$:$$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 - 1 + 1 = 0$$Los normales son perpendiculares, así que los planos también: forman un ángulo de $90^\circ$.

b) Directores. El de $r$ es $\vec{u} = (-1, 2, 1)$. El de $s$:$$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1)\,\vec{i} - (0 - 2)\,\vec{j} + (0 - 2)\,\vec{k} = (2,\ 2,\ -2)$$Tomamos $\vec{v} = (1, 1, -1)$. No es proporcional a $\vec{u}$, así que $r$ y $s$ no son paralelas: o se cortan o se cruzan.

¿Tienen algún punto común? Un punto de $r$ está en $s$ si cumple las dos ecuaciones de los planos. En $\pi_1$:$$2\lambda + (2 + \lambda) = -1 \;\Longrightarrow\; 3\lambda = -3 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1 \;\Longrightarrow\; (3,\ -2,\ 1)$$Es el único punto de $r$ que está en $\pi_1$. Pero no está en $\pi_2$:$$2 \cdot 3 - (-2) + 1 = 9 \neq -3$$Así que $r$ y $s$ no tienen ningún punto en común y no son paralelas: se cruzan.

Comprobación con el producto mixto. Con $P(2, 0, 2) \in r$ y $Q(-2, -1, 0) \in s$ (con $z = 0$: $y = -1$, $2x + 1 = -3$), $\overrightarrow{PQ} = (-4, -1, -2)$ y$$\left[\overrightarrow{PQ}, \vec{u}, \vec{v}\right] = \begin{vmatrix} -4 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -4(-2 - 1) + 1(1 - 1) - 2(-1 - 2) = 12 + 0 + 6 = 18 \neq 0$$Los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan ✓ (y están a distancia $\frac{18}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{18}{3\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$).

c) El punto de $r$ con segunda coordenada nula: $2\lambda = 0$, $\lambda = 0$, es $P(2, 0, 2)$. El plano perpendicular a $s$ tiene normal $\vec{v} = (1, 1, -1)$:$$(x - 2) + (y - 0) - (z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - z = 0$$Comprobación. $P$: $2 + 0 - 2 = 0$ ✓.