Derivadas y aplicaciones

a) $f(x) = (x - 1)e^x$ es el producto de un polinomio y de la exponencial, ambas continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Por tanto $f$ es continua y derivable en $\mathbb{R}$.

b) Derivando:$$f'(x) = e^x + x e^x - e^x = x e^x$$Como $e^x > 0$ siempre, $f'$ tiene el signo de $x$:

• En $(-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$: $f$ es decreciente.
• En $(0, +\infty)$, $f'(x) > 0$: $f$ es creciente.

En $x = 0$ pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo en $(0, f(0)) = (0, -1)$. No hay más extremos, porque $f'$ solo se anula en $x = 0$.

c) La diferencia entre las dos funciones es$$f(x) - g(x) = x e^x - e^x + e^x = x e^x$$que es $\ge 0$ en $[0, 1]$ y solo se anula en $x = 0$: la gráfica de $f$ va por encima de la de $g$ en todo el intervalo y las dos se tocan solo en $(0, -1)$. El recinto queda limitado por las dos curvas y la recta $x = 1$.

Una primitiva de $x e^x$, por partes con $u = x$ y $dv = e^x\,dx$ ($du = dx$, $v = e^x$):$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$Por la regla de Barrow:$$A = \int_0^1 x e^x\,dx = \Big[(x - 1)e^x\Big]_0^1 = (0 \cdot e) - (-1 \cdot 1) = 1 \text{ u}^2$$