Matemáticas IIFácil2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Los precios de las entradas para un musical son

8

euros para los asistentes menores de

18

años,

25

euros para los adultos de menos de

60

años, y

10

euros para aquellos de al menos

60

años. Tras el concierto, se sabe que se han vendido tantas entradas de

25

euros como de las otras dos categorías juntas; y también que ha habido

9

asistentes menores de edad por cada uno de aquellos de al menos

60

años. Si la recaudación final fue de

8300

euros, calcule el número de asistentes de cada rango de edad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{225 \text{ menores de 18 años}, \qquad 250 \text{ adultos de menos de 60}, \qquad 25 \text{ de al menos 60 años}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las incógnitas son los asistentes de cada grupo. Cada frase del enunciado da una ecuación:

«tantas entradas de 25 € como de las otras dos juntas»: una igualdad entre adultos y la suma de los otros dos grupos;
«9 menores por cada mayor de 60»: una proporción, que se escribe como «menores = 9 · mayores»;
la recaudación: cada grupo por su precio, sumado.

Las dos primeras dejan dos incógnitas en función de la tercera, así que el sistema se resuelve por sustitución en una línea.

Desarrollo

Incógnitas. Sean

x

= menores de 18 años,

y

= adultos de 18 a 59 años y

z

= asistentes de al menos 60 años.

Ecuaciones.

\left\{\begin{array}{rcl} 8x + 25y + 10z & = & 8300 \\ y & = & x + z \\ x & = & 9z \end{array}\right. \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl} 8x + 25y + 10z & = & 8300 \\ x - y + z & = & 0 \\ x - 9z & = & 0 \end{array}\right.

Resolución. De la tercera,

x = 9z

; con la segunda,

y = 9z + z = 10z

. Sustituyendo en la primera:

8 \cdot 9z + 25 \cdot 10z + 10z = 72z + 250z + 10z = 332z = 8300 \;\Longrightarrow\; z = 25

x = 9 \cdot 25 = 225, \qquad y = 10 \cdot 25 = 250

El determinante de los coeficientes es

\begin{vmatrix} 8 & 25 & 10 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -9 \end{vmatrix} = 332 \neq 0

: el sistema es compatible determinado y la solución es única.

Comprobación.

Recaudación: $8 \cdot 225 + 25 \cdot 250 + 10 \cdot 25 = 1800 + 6250 + 250 = 8300$ € ✓
Entradas de 25 €: $250 = 225 + 25$ ✓
Proporción: $225 = 9 \cdot 25$ ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Las proporciones del tipo «9 de A por cada 1 de B» se escriben $A = 9B$ , no $9A = B$ : piensa en un caso concreto (1 mayor, 9 menores) para no darles la vuelta.

La corrección reserva 0,5 puntos para interpretar la solución: termina diciendo cuántos asistentes hay de cada grupo, no solo $x$ , $y$ y $z$ .