Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

60\,\%

de los habitantes de una ciudad utiliza para trabajar un móvil, el

30\,\%

utiliza un ordenador portátil y el

25\,\%

no usa ninguno de los dos dispositivos.

a) (0,5 puntos) Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar utilice ambos dispositivos para trabajar.

b) (0,5 puntos) En esa ciudad, ¿es independiente el uso del móvil y del ordenador portátil para trabajar? Justifique la respuesta.

c) (0,5 puntos) Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar utilice exclusivamente el ordenador portátil para trabajar.

d) (1 punto) Si elegimos al azar 10 individuos, calcule la probabilidad de que exactamente 8 de ellos utilicen para trabajar un móvil.

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Resultado

\boxed{\text{a) } 0{,}15 \qquad \text{b) No son independientes} \qquad \text{c) } 0{,}15 \qquad \text{d) } P(X = 8) \approx 0{,}1209}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

M

= «usa el móvil» y

T

= «usa el portátil». Los datos son

P(M)

P(T)

y la probabilidad de ninguno, que es la del complementario de la unión:

P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 1 - P(M \cup T)

En a) la intersección sale de la fórmula de la unión.
En b) se comprueba si $P(M \cap T) = P(M)\,P(T)$ .
En c), «solo el portátil» es $T \cap \overline{M}$ : el portátil menos la parte común.
En d) se cuenta cuántos de 10 usan el móvil: una binomial $B(10;\ 0{,}6)$ .

Desarrollo

a) Como el

25\,\%

no usa ninguno, el

75\,\%

usa alguno:

P(M \cup T) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75

. Entonces

P(M \cap T) = P(M) + P(T) - P(M \cup T) = 0{,}60 + 0{,}30 - 0{,}75 = 0{,}15

b) Si fueran independientes, se cumpliría

P(M \cap T) = P(M)\,P(T)

. Pero

P(M)\,P(T) = 0{,}60 \cdot 0{,}30 = 0{,}18 \neq 0{,}15 = P(M \cap T)

así que no son independientes. (Dicho de otra forma:

P(T \mid M) = \frac{0{,}15}{0{,}60} = 0{,}25

, distinto de

P(T) = 0{,}30

; saber que alguien usa el móvil cambia la probabilidad de que use el portátil.)

c) El portátil se reparte entre quienes usan también el móvil y quienes no (sucesos incompatibles):

P(T \cap \overline{M}) = P(T) - P(M \cap T) = 0{,}30 - 0{,}15 = 0{,}15

d) Sea

X

= número de individuos, de 10, que usan el móvil. Cada uno lo usa con probabilidad

0{,}6

, independientemente de los demás, así que

X \sim B(10;\ 0{,}6)

P(X = 8) = \binom{10}{8}\,0{,}6^8 \cdot 0{,}4^2 = 45 \cdot 0{,}01679616 \cdot 0{,}16 = 0{,}120932352 \approx 0{,}1209

Resumen en tabla (en porcentajes):

	$T$	$\overline{T}$	Total
$M$	15	45	60
$\overline{M}$	15	25	40
Total	30	70	100

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dato del $25\,\%$ es el de ninguno, no el de la intersección: primero pásalo a la unión ( $1 - 0{,}25$ ) y luego despeja la intersección.

En b) la justificación es la cuenta: hay que comparar $P(M \cap T)$ con $P(M)\,P(T)$ (o $P(T \mid M)$ con $P(T)$ ). Un «no, porque usar uno influye en el otro» sin números no puntúa.