Un tetraedro tiene por vértices los puntos O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3). a) (0,75 puntos) Calcule el área de la cara dada por el triángulo de vértices A, B y C. b) (0,75 puntos) Calcule el volumen del tetraedro. c) (1 punto) Calcule una ecuación del plano \pi que pasa por los puntos A, B y C. Determine el punto simétrico respecto de \pi del punto O.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Un tetraedro tiene por vértices los puntos

O(0, 0, 0)

A(1, 0, 0)

B(0, 2, 0)

C(0, 0, 3)

.

a) (0,75 puntos) Calcule el área de la cara dada por el triángulo de vértices

A

B

C

.

b) (0,75 puntos) Calcule el volumen del tetraedro.

c) (1 punto) Calcule una ecuación del plano

\pi

que pasa por los puntos

A

B

C

. Determine el punto simétrico respecto de

\pi

del punto

O

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Resultado

\boxed{\text{a) } \frac{7}{2} \text{ u}^2 \qquad \text{b) } 1 \text{ u}^3 \qquad \text{c) } 6x + 3y + 2z - 6 = 0,\quad O'\left(\frac{72}{49}, \frac{36}{49}, \frac{24}{49}\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las tres preguntas usan las herramientas habituales con vectores:

Área del triángulo $ABC$ : la mitad del módulo de $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .
Volumen del tetraedro: un sexto del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que salen del mismo vértice (aquí, desde $O$ ).
Plano $ABC$ : su normal es el mismo $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ de a).
Simétrico de $O$ : se traza la recta perpendicular a $\pi$ por $O$ , se halla su corte $M$ con el plano (el pie de la perpendicular) y el simétrico $O'$ cumple que $M$ es el punto medio de $OO'$ .

Desarrollo

a) Los vectores de dos lados del triángulo:

\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (6 - 0)\,\vec{i} - (-3 - 0)\,\vec{j} + (0 + 2)\,\vec{k} = (6,\ 3,\ 2)

|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \quad\Longrightarrow\quad \text{Área}_{ABC} = \frac{7}{2} \text{ u}^2

b) Con las aristas que salen de

O

V = \frac{1}{6}\left|\det\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\right)\right| = \frac{1}{6}\left|\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\right| = \frac{6}{6} = 1 \text{ u}^3

c) Plano $\pi$ . Normal

\vec{n} = (6, 3, 2)

y pasa por

A(1, 0, 0)

6(x - 1) + 3y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 6x + 3y + 2z - 6 = 0

(Es la ecuación segmentaria

\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

multiplicada por 6.) Comprobación:

B

6 - 6 = 0

✓;

C

6 - 6 = 0

✓.

Pie de la perpendicular. La recta perpendicular a

\pi

por

O

(x, y, z) = t\,(6, 3, 2)

. Sustituyendo en

\pi

36t + 9t + 4t - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; 49t = 6 \;\Longrightarrow\; t = \frac{6}{49}

M = \left(\frac{36}{49},\ \frac{18}{49},\ \frac{12}{49}\right)

Simétrico.

M

es el punto medio de

O

O'

, así que

O' = 2M - O = 2M

O' = \left(\frac{72}{49},\ \frac{36}{49},\ \frac{24}{49}\right)

Comprobación. La distancia de

O

\pi

\frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}

|\overrightarrow{OO'}| = \frac{12}{49}\,|(6, 3, 2)| = \frac{12 \cdot 7}{49} = \frac{12}{7}

, el doble ✓. Además

O'

está al otro lado:

6 \cdot \frac{72}{49} + 3 \cdot \frac{36}{49} + 2 \cdot \frac{24}{49} - 6 = \frac{588}{49} - 6 = 6 > 0

, mientras que en

O

el plano vale

-6

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas el pie de la perpendicular $M$ con el simétrico: $M$ es el punto medio y el simétrico está al doble de distancia, $O' = 2M - O$ . Dar $M$ como respuesta es el fallo más repetido en c).

El producto vectorial de a) es también la normal del plano de c): calcularlo una sola vez ahorra tiempo y errores.