Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sea la función

f(x) = x^3 + \cos(\pi x)

. Se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la recta tangente a la gráfica de

f(x)

x = 1

y probar, utilizando el Teorema de Bolzano, que dicha recta tangente corta a la gráfica de

f(x)

en algún punto entre

x = -3

x = -2

.

b) (1,25 puntos) Calcular

\displaystyle\int x\, f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } y = 3x - 3 \qquad \text{b) } \int x f(x)\,dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x\sin(\pi x)}{\pi} + \frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la tangente en

x = 1

y = f(1) + f'(1)(x - 1)

; al derivar

\cos(\pi x)

hay que aplicar la regla de la cadena. Para ver que la tangente corta a la curva, se aplica Bolzano a la diferencia

h(x) = f(x) - (\text{tangente})

: un cero de

h

es un punto común.

En b) se reparte:

x f(x) = x^4 + x\cos(\pi x)

. La primera parte es inmediata; la segunda, un polinomio por un coseno, se hace por partes derivando el polinomio.

Desarrollo

a) Recta tangente.

f(1) = 1 + \cos\pi = 1 - 1 = 0, \qquad f'(x) = 3x^2 - \pi\,\sin(\pi x), \qquad f'(1) = 3 - \pi\sin\pi = 3

y = 0 + 3(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 3x - 3

Corte con la gráfica. Sea

h(x) = f(x) - (3x - 3) = x^3 + \cos(\pi x) - 3x + 3

La tangente y la gráfica se cortan donde

h(x) = 0

h

es continua en

[-3, -2]

(suma de un polinomio y un coseno), y

h(-3) = -27 + \cos(-3\pi) + 9 + 3 = -27 - 1 + 12 = -16 < 0

h(-2) = -8 + \cos(-2\pi) + 6 + 3 = -8 + 1 + 9 = 2 > 0

Por el teorema de Bolzano existe

c \in (-3, -2)

con

h(c) = 0

, es decir,

f(c) = 3c - 3

: la recta tangente vuelve a cortar a la gráfica en un punto de abscisa entre

-3

-2

(numéricamente,

c \approx -2{,}18

).

b) Separamos la integral:

\int x f(x)\,dx = \int x^4\,dx + \int x\cos(\pi x)\,dx = \frac{x^5}{5} + \int x\cos(\pi x)\,dx

Por partes, con

u = x

dv = \cos(\pi x)\,dx

du = dx, \qquad v = \frac{\sin(\pi x)}{\pi}

\int x\cos(\pi x)\,dx = \frac{x\sin(\pi x)}{\pi} - \int \frac{\sin(\pi x)}{\pi}\,dx = \frac{x\sin(\pi x)}{\pi} + \frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} + C

Por tanto

\int x f(x)\,dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x\sin(\pi x)}{\pi} + \frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} + C

Comprobación. Derivando:

x^4 + \frac{\sin(\pi x)}{\pi} + x\cos(\pi x) - \frac{\sin(\pi x)}{\pi} = x^4 + x\cos(\pi x) = x f(x)

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para que una recta y una curva se corten no se aplica Bolzano a $f$ , sino a la diferencia entre las dos. Y no olvides decir por qué esa diferencia es continua en el intervalo cerrado.

El factor $\pi$ dentro del coseno se arrastra en todas las cuentas: $(\cos \pi x)' = -\pi\sin\pi x$ y $\int\cos\pi x\,dx = \frac{\sin\pi x}{\pi}$ . Olvidarlo es el error típico de b).