Matemáticas IIMedio2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} a & b & 0 \\ b & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

. Se pide:

a) (0,5 puntos) Para

b = a^2

, determinar los valores de

a

para que la matriz

A

tenga inversa.

b) (1 punto) Para

b = 4

a = -2

, calcular

A^{-1} \cdot (B + 2A) - (A^{-1} + B^t) \cdot B

.

c) (1 punto) Para

b = 1

, discutir el rango de la matriz

A + B

en función del parámetro

a

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a \notin \{-1, 0, 1\} \qquad \text{b) } \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{c) } \operatorname{rg}(A + B) = \begin{cases} 3 & a \neq 0,\ a \neq 2 \\ 2 & a = 0 \\ 1 & a = 2 \end{cases}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a),

A

tiene inversa si y solo si

|A| \neq 0

: se calcula el determinante (desarrollando por la tercera fila, que tiene dos ceros) y se buscan sus raíces.

En b) no hace falta calcular

A^{-1}

: si se desarrolla la expresión con la propiedad distributiva (respetando el orden de los productos), los términos con

A^{-1}

se cancelan. Solo hay que comprobar que

A^{-1}

existe para esos valores.

En c) se calcula

|A + B|

en función de

a

; donde no se anula el rango es 3, y en cada valor que lo anula se estudia la matriz concreta.

Desarrollo

a) Desarrollando por la tercera fila:

|A| = a\begin{vmatrix} a & b \\ b & a \end{vmatrix} = a(a^2 - b^2)

Con

b = a^2

|A| = a(a^2 - a^4) = a^3(1 - a^2) = a^3(1 - a)(1 + a)

que se anula en

a = 0

a = 1

a = -1

. Por tanto,

A

tiene inversa si y solo si

a \neq 0, \quad a \neq 1, \quad a \neq -1

b) Para

b = 4

a = -2

|A| = -2\,(4 - 16) = 24 \neq 0

, así que

A^{-1}

existe. Desarrollamos la expresión:

A^{-1}(B + 2A) - (A^{-1} + B^t)B = A^{-1}B + 2A^{-1}A - A^{-1}B - B^tB = 2I - B^tB

Como

B

es diagonal,

B^t = B

B^tB = B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad 2I - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

El resultado no depende de

A

, siempre que sea invertible.

c) Para

b = 1

A + B = \begin{pmatrix} a - 1 & 1 & 0 \\ 1 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & a - 2 \end{pmatrix}

|A + B| = (a - 2)\left[(a - 1)^2 - 1\right] = (a - 2)(a^2 - 2a) = a(a - 2)^2

Si $a \neq 0$ y $a \neq 2$ : $|A + B| \neq 0$ y $\operatorname{rg}(A + B) = 3$ .
Si $a = 0$ : $A + B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ . La segunda fila es la primera cambiada de signo, y el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 3). Así que $\operatorname{rg}(A + B) = 2$ .
Si $a = 2$ : $A + B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Las dos primeras filas son iguales y la tercera es nula: $\operatorname{rg}(A + B) = 1$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el producto de matrices no es conmutativo: $A^{-1}(B + 2A) = A^{-1}B + 2I$ , pero $(A^{-1} + B^t)B = A^{-1}B + B^tB$ , con $B$ a la derecha. Así se cancelan los $A^{-1}B$ sin calcular ninguna inversa; si los escribes en otro orden ya no se cancelan.

En c) no basta con decir «si $a = 0$ o $a = 2$ el rango es menor que 3»: hay que dar el rango exacto en cada caso, y no es el mismo.