Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

Una empresa comercializa tres tipos de productos A, B y C. Cuatro de cada siete productos son de tipo A, dos de cada siete productos son de tipo B y el resto lo son de tipo C. A la exportación se destina un 40 % de los productos tipo A, un 60 % de los productos tipo B y un 20 % de los productos tipo C. Elegido un producto al azar, se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que el producto sea destinado a la exportación.

b) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea del tipo C sabiendo que el producto es destinado a la exportación.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } P(E) = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286\;}

\boxed{\;\text{b) } P(C \mid E) = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes. Los tres tipos A, B y C forman una partición (todo producto es de uno y solo uno), y de cada tipo conocemos qué fracción se exporta: son probabilidades condicionadas al tipo.

En a) sumamos las tres ramas del árbol que acaban en «exportado» (probabilidad total). En b) nos dan el efecto (se exporta) y nos preguntan por la causa (es de tipo C): eso es Bayes, la rama de C dividida entre el total de a).

Desarrollo

Sucesos y datos. Sean

A

B

C

los sucesos «el producto es de tipo A, B o C» y

E

= «el producto se destina a la exportación».

P(A) = \frac{4}{7}, \qquad P(B) = \frac{2}{7}, \qquad P(C) = 1 - \frac{4}{7} - \frac{2}{7} = \frac{1}{7}

P(E \mid A) = 0{,}4, \qquad P(E \mid B) = 0{,}6, \qquad P(E \mid C) = 0{,}2

El árbol tiene tres ramas principales (A, B, C) y en cada una se bifurca en

E

\overline{E}

.

a) Por el teorema de la probabilidad total, ya que

\{A, B, C\}

es una partición:

P(E) = P(A)\,P(E\mid A) + P(B)\,P(E\mid B) + P(C)\,P(E\mid C)

P(E) = \frac{4}{7}\cdot 0{,}4 + \frac{2}{7}\cdot 0{,}6 + \frac{1}{7}\cdot 0{,}2 = \frac{1{,}6 + 1{,}2 + 0{,}2}{7} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286

b) Por el teorema de Bayes:

P(C \mid E) = \frac{P(C \cap E)}{P(E)} = \frac{P(C)\,P(E\mid C)}{P(E)} = \frac{\frac{1}{7}\cdot 0{,}2}{\frac{3}{7}} = \frac{0{,}2}{3} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667

Comprobación. Las tres probabilidades a posteriori deben sumar 1:

P(A\mid E) = \frac{1{,}6}{3} = \frac{8}{15}, \qquad P(B\mid E) = \frac{1{,}2}{3} = \frac{6}{15}, \qquad P(C\mid E) = \frac{1}{15}, \qquad \frac{8 + 6 + 1}{15} = 1

Tiene sentido que

P(C\mid E)

sea pequeña: C es el tipo menos frecuente y además el que menos se exporta.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien qué es dato y qué es pregunta: el 20 % es $P(E\mid C)$ (de los de tipo C, cuántos se exportan), mientras que en b) se pide $P(C\mid E)$ (de los exportados, cuántos son de tipo C). Confundirlas es el error que más puntos cuesta en este tipo de ejercicio.

Define los sucesos con letras al principio y escribe las fórmulas de la probabilidad total y de Bayes antes de sustituir: el planteamiento vale casi la mitad de cada apartado.