Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

Sean las rectas

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x + y + 2 = 0 \\ y - 2z + 1 = 0 \end{array}\right. \qquad \text{y} \qquad s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 2 - 2t \\ y = 5 + 2t, \\ z = t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.

a) (1,5 puntos) Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas.

b) (0,5 puntos) Determine una ecuación del plano

\pi

que contiene a las rectas

r

s

.

c) (0,5 puntos) Sean

P

Q

los puntos de las rectas

r

s

, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación

z = 0

. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos

P

Q

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Paralelas distintas},\quad d(r,s) = \sqrt{41} \approx 6{,}40 \text{ u}\;}

\boxed{\;\text{b) } \pi \equiv 2x - y + 6z + 1 = 0\;}

\boxed{\;\text{c) } (x,y,z) = (-1,-1,0) + \mu(1,2,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es tener las dos rectas en la misma forma:

r

viene como corte de dos planos, así que la pasamos a paramétricas (punto y vector director). Comparando los directores sabremos si son paralelas; si lo son, falta ver si un punto de una está en la otra (coincidentes) o no (paralelas distintas).

Si son paralelas distintas, la distancia entre ellas es la de cualquier punto de una a la otra recta, que se calcula con el producto vectorial (área del paralelogramo entre base). El apartado b) solo tiene sentido si son paralelas o secantes, y el plano lo generan el director común y el vector que une un punto de cada recta. En c),

P

Q

son los puntos de

r

s

con

z = 0

, y la recta que los une está dentro de

\pi

Desarrollo

Paso de $r$ a paramétricas. Tomando

z = \lambda

: de la segunda ecuación

y = 2\lambda - 1

, y de la primera

x = -y - 2 = -2\lambda - 1

r \equiv (x, y, z) = (-1,\ -1,\ 0) + \lambda(-2,\ 2,\ 1)

(El director coincide con el producto vectorial de los normales:

(1, 1, 0)\times(0, 1, -2) = (-2,\ 2,\ 1)

✓.)

De

s

leemos directamente un punto y su director:

A(-1, -1, 0) \in r,\quad \vec{u} = (-2, 2, 1); \qquad B(2, 5, 0) \in s,\quad \vec{v} = (-2, 2, 1)

a) Posición relativa.

\vec{u} = \vec{v}

, así que las rectas son paralelas o coincidentes. Comprobamos si

B

está en

r

: en la primera ecuación de

r

2 + 5 + 2 = 9 \neq 0

, luego

B \notin r

. Las rectas son paralelas (distintas).

Distancia. Por ser paralelas,

d(r, s) = d(A, s)

. Con

\overrightarrow{AB} = (3,\ 6,\ 0)

\overrightarrow{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 6 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (6 - 0)\,\vec{i} - (3 - 0)\,\vec{j} + (6 + 12)\,\vec{k} = (6,\ -3,\ 18)

d(r, s) = \frac{|\overrightarrow{AB}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{36 + 9 + 324}}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{369}}{3} = \frac{3\sqrt{41}}{3} = \sqrt{41} \approx 6{,}40 \text{ u}

b) Plano que las contiene. Dos rectas paralelas distintas determinan un plano, que contiene al punto

A

y a las direcciones

\vec{v}

\overrightarrow{AB}

. Su normal es el producto vectorial que ya tenemos,

(6, -3, 18) = 3(2, -1, 6)

2(x + 1) - (y + 1) + 6(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x - y + 6z + 1 = 0

Comprobación.

A

-2 + 1 + 0 + 1 = 0

✓;

B

4 - 5 + 0 + 1 = 0

✓; y

(2, -1, 6)\cdot(-2, 2, 1) = -4 - 2 + 6 = 0

✓, así que las dos rectas están en

\pi

.

c) Puntos con $z = 0$ . En

r

z = \lambda = 0

P(-1, -1, 0)

; en

s

z = t = 0

Q(2, 5, 0)

. Son justo

A

B

. La recta

PQ

tiene director

\overrightarrow{PQ} = (3, 6, 0)

, o el proporcional

(1, 2, 0)

PQ \equiv (x, y, z) = (-1,\ -1,\ 0) + \mu(1,\ 2,\ 0), \quad \mu \in \mathbb{R}

o, en implícitas,

\left\{\begin{array}{l} 2x - y + 1 = 0 \\ z = 0 \end{array}\right.

Comprobación.

P

-2 + 1 + 1 = 0

✓;

Q

4 - 5 + 1 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que los directores sean iguales no basta para decir «paralelas»: hay que comprobar que un punto de una recta no está en la otra, porque podrían ser la misma recta. Ese paso vale puntos en la corrección.

Para la distancia entre paralelas no uses la fórmula de las rectas que se cruzan (con el producto mixto): aquí da $0/0$ . Se calcula como la distancia de un punto a una recta.