Sea la función f(x) = \begin{cases} x & \text{si} \quad x \leq 0 \\ x\ln(x) & \text{si} \quad x > 0 \end{cases}. a) (0,5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f(x) en x = 0. b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x), así como los máximos y mínimos relativos. c) (1 punto) Calcule \displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = \begin{cases} x & \text{si} \quad x \leq 0 \\ x\ln(x) & \text{si} \quad x > 0 \end{cases}.

a) (0,5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de

f(x)

x = 0

.

b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f(x)

, así como los máximos y mínimos relativos.

c) (1 punto) Calcule

\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx

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Resultado

\boxed{\;\text{a) Continua en } x = 0;\ \text{no derivable } (f'(0^+) = -\infty)\;}

\boxed{\;\text{b) Crece en } (-\infty,0) \text{ y } \left(\tfrac{1}{e},+\infty\right),\ \text{decrece en } \left(0,\tfrac{1}{e}\right);\ \text{máx. } (0,0),\ \text{mín. } \left(\tfrac{1}{e},-\tfrac{1}{e}\right)\;}

\boxed{\;\text{c) } \int_1^2 f(x)\,dx = 2\ln 2 - \tfrac{3}{4} \approx 0{,}6363\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el punto de unión es

x = 0

: por la izquierda todo es trivial, y por la derecha aparece

x\ln x

, una indeterminación

0\cdot(-\infty)

que se resuelve escribiéndola como cociente y aplicando L'Hôpital. Para la derivabilidad, como

\ln x

no está definido en

0

, lo seguro es ir a la definición: el cociente incremental por la derecha.

En b) estudiamos el signo de

f'

en cada trozo. Hay un detalle que se escapa a menudo: en

x = 0

la función no es derivable, pero sí continua, y la derivada cambia de signo; ahí también hay un extremo, aunque

f'(0)

no exista.

En c) el intervalo

[1, 2]

está entero en el trozo

x\ln x

, y el producto de un polinomio por un logaritmo se integra por partes, derivando el logaritmo.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

f(0) = 0

\lim_{x\to 0^-} x = 0

. Por la derecha hay una indeterminación

0\cdot(-\infty)

; la pasamos a

\frac{\infty}{\infty}

y aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x\to 0^+} x\ln x = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+} (-x) = 0

Los dos límites laterales valen

0 = f(0)

: $f$ es continua en $x = 0$ .

Derivabilidad en $x = 0$ . Por la izquierda,

f(x) = x

f'(0^-) = 1

. Por la derecha, con la definición:

f'(0^+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h\ln h - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \ln h = -\infty

La derivada lateral por la derecha no es finita (la gráfica llega a

0

con tangente vertical), así que $f$ no es derivable en $x = 0$ .

b) Monotonía.

Para $x < 0$ : $f'(x) = 1 > 0$ , luego $f$ es creciente en $(-\infty, 0)$ .
Para $x > 0$ : $f'(x) = \ln x + x\cdot\dfrac{1}{x} = \ln x + 1$ , que se anula en $\ln x = -1$ , es decir, $x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$ . Como $\ln x$ es creciente, $f'(x) < 0$ en $\left(0, \frac{1}{e}\right)$ y $f'(x) > 0$ en $\left(\frac{1}{e}, +\infty\right)$ .

	$(-\infty, 0)$	$\left(0, \frac{1}{e}\right)$	$\left(\frac{1}{e}, +\infty\right)$
Signo de $f'$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

Extremos relativos.

En $x = \frac{1}{e}$ la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, con $f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$ . El punto es $\left(\frac{1}{e},\ -\frac{1}{e}\right) \approx (0{,}368;\ -0{,}368)$ .
En $x = 0$ la función es continua (apartado a), crece a su izquierda y decrece a su derecha: máximo relativo en $(0, 0)$ , aunque $f$ no sea derivable ahí.

c) En

[1, 2]

f(x) = x\ln x

. Por partes, con

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2}

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

Por la regla de Barrow:

\int_1^2 x\ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^2 = (2\ln 2 - 1) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = 2\ln 2 - \frac{3}{4} \approx 0{,}6363

Comprobación. Derivando la primitiva:

x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x

✓. Y el valor es razonable: en

[1, 2]

la función va de

0

2\ln 2 \approx 1{,}39

, así que la integral tiene que estar entre

0

1{,}39

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Consejo

El máximo relativo en $x = 0$ es el punto que más se pierde: $f'(0)$ no existe, así que no sale al resolver $f'(x) = 0$ . Los extremos se buscan donde $f'$ se anula y donde $f$ no es derivable pero sí continua; la tabla de signos los delata a todos.

En a), no derives $x\ln x$ y evalúes en $0$ : $\ln 0$ no existe. Calcula el límite de la derivada o, mejor, el cociente incremental, como pide la definición.