Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

En una comunidad autónoma tres de cada cinco alumnos de segundo de bachillerato están matriculados en la asignatura de Matemáticas II. Se eligen 6 alumnos al azar de entre todos los alumnos de segundo de bachillerato. Se pide:

a) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente cuatro de ellos estén matriculados en Matemáticas II.

b) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos esté matriculado en Matemáticas II.

c) (1 punto) Si en un instituto hay matriculados en segundo de bachillerato 120 alumnos, calcular, aproximando la distribución binomial mediante una distribución normal, la probabilidad de que más de 60 de estos alumnos estén matriculados en Matemáticas II.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } P(X=4) = 0{,}31104 \qquad \text{b) } P(X\geq 1) = 0{,}995904\;}

\boxed{\;\text{c) } P(Y > 60) \approx P(Z \geq -2{,}14) = 0{,}9838\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada alumno elegido es un ensayo con dos resultados (está o no en Matemáticas II) con probabilidad de «éxito»

p = \frac{3}{5} = 0{,}6

, y como la población es enorme los ensayos son independientes. Así que el número de matriculados es una binomial.

En a) aplicamos directamente la fórmula de la binomial. En b) «alguno» significa «al menos uno», y es mucho más corto pasar por el contrario: «ninguno». En c) la binomial tiene

n = 120

y sumar 60 términos es inviable a mano, así que, tras comprobar que

np

nq

son mayores que 5, la aproximamos por una normal con la misma media y desviación, usando la corrección de continuidad (una variable que salta de entero en entero pasa a una continua).

Desarrollo

a) Sea

X

= número de alumnos, de los 6 elegidos, matriculados en Matemáticas II. Cada elección es independiente y con la misma probabilidad, así que

X \sim B(6;\ 0{,}6), \qquad P(X = k) = \binom{6}{k}\,0{,}6^{k}\,0{,}4^{6-k}

P(X = 4) = \binom{6}{4}\,0{,}6^4\,0{,}4^2 = 15 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}16 = 0{,}31104

b) «Alguno está matriculado» es el contrario de «ninguno lo está»:

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}4^6 = 1 - 0{,}004096 = 0{,}995904

c) Ahora

Y

= número de matriculados entre los 120 alumnos del instituto,

Y \sim B(120;\ 0{,}6)

.

Condiciones de la aproximación.

np = 120\cdot 0{,}6 = 72 > 5

nq = 120 \cdot 0{,}4 = 48 > 5

, así que podemos aproximar por una normal con

\mu = np = 72, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{120\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4} = \sqrt{28{,}8} \approx 5{,}37

es decir,

Y \approx Y' \sim N(72;\ 5{,}37)

.

Corrección de continuidad. «Más de 60» en la binomial es

Y \geq 61

, que en la normal se convierte en

Y' \geq 60{,}5

(el entero 61 ocupa el intervalo

[60{,}5,\ 61{,}5]

P(Y > 60) = P(Y \geq 61) \approx P(Y' \geq 60{,}5) = P\left(Z \geq \frac{60{,}5 - 72}{5{,}37}\right) = P(Z \geq -2{,}14)

Por la simetría de la normal,

P(Z \geq -2{,}14) = P(Z \leq 2{,}14)

, y en la tabla:

P(Y > 60) \approx P(Z \leq 2{,}14) = 0{,}9838

(Con el valor exacto de la binomial sale

0{,}9833

: la aproximación es muy buena.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En c) hay dos errores clásicos. Uno, olvidar comprobar $np > 5$ y $nq > 5$ antes de aproximar: la corrección valora que se razone si la aproximación es válida. Dos, no usar la corrección de continuidad o aplicarla al revés: «más de 60» empieza en 61, así que el corte es $60{,}5$ , no $60$ ni $61{,}5$ .

En b), «alguno» es «al menos uno». Por el contrario se resuelve en una línea; sumando de $P(X=1)$ a $P(X=6)$ se pierde tiempo y se cometen errores.