Áreas, volúmenes y distancias

Datos. El plano es $\pi \equiv x - z = 0$, con vector normal $\vec{n} = (1, 0, -1)$. $A$ y $B$ cumplen $z = x$ (los dos tienen $x = z = 0$), y$$\overrightarrow{AB} = (0,\ 2,\ 0), \qquad |\overrightarrow{AB}| = 2$$Dirección perpendicular a $AB$ dentro de $\pi$. Un vector $\vec{w}$ paralelo al plano y perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ debe ser perpendicular a $\vec{n}$ y a $\overrightarrow{AB}$:$$\vec{n} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 2)\,\vec{i} - (0 - 0)\,\vec{j} + (2 - 0)\,\vec{k} = (2,\ 0,\ 2)$$Tomamos $\vec{w} = (1, 0, 1)$, con $|\vec{w}| = \sqrt{2}$. Comprobamos: $\vec{w}\cdot\vec{n} = 1 - 1 = 0$ (está en la dirección del plano) y $\vec{w}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$ (es perpendicular al lado).

a) $A$ y $B$ contiguos. El cuadrado tiene lado 2. Recorriéndolo en el orden $A, B, C, D$, el vértice $C$ es contiguo a $B$ y $D$ es contiguo a $A$, con$$C = B + \vec{u}, \qquad D = A + \vec{u}, \qquad \vec{u} \parallel \vec{w},\ \ |\vec{u}| = 2$$Como $\vec{u} = \lambda(1, 0, 1)$ con $|\lambda|\sqrt{2} = 2$, sale $\lambda = \pm\sqrt{2}$ y $\vec{u} = \pm(\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$. Hay dos cuadrados, uno a cada lado de $AB$:

• Con $\vec{u} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$: $C(\sqrt{2},\ 1,\ \sqrt{2})$ y $D(\sqrt{2},\ -1,\ \sqrt{2})$.
• Con $\vec{u} = (-\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2})$: $C(-\sqrt{2},\ 1,\ -\sqrt{2})$ y $D(-\sqrt{2},\ -1,\ -\sqrt{2})$.

Comprobación (primer cuadrado). Los cuatro puntos cumplen $z = x$. $\overrightarrow{BC} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$ mide $\sqrt{2 + 2} = 2$ y es perpendicular a $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{CD} = (0, -2, 0) = -\overrightarrow{AB}$, así que $ABCD$ es un cuadrado de lado 2. El otro es simétrico.

b) $A$ y $B$ opuestos. Ahora $AB$ es una diagonal, de longitud 2. Su punto medio es$$M = \left(\frac{0+0}{2},\ \frac{-1+1}{2},\ \frac{0+0}{2}\right) = (0,\ 0,\ 0)$$En un cuadrado las diagonales son iguales, perpendiculares y se cortan en su punto medio. Así que los otros dos vértices $C$ y $D$ están en la recta que pasa por $M$ con dirección $\vec{w}$ (dentro de $\pi$ y perpendicular a $AB$), a distancia $\frac{2}{2} = 1$ de $M$:$$M + \lambda(1, 0, 1), \qquad |\lambda|\sqrt{2} = 1 \;\Longrightarrow\; \lambda = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$C\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\ 0,\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \qquad D\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ 0,\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$Aquí el cuadrado es único: cambiar el signo solo intercambia los nombres de $C$ y $D$.

Comprobación. Ambos cumplen $z = x$. $|\overrightarrow{AC}|^2 = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2$, e igual $|\overrightarrow{BC}|^2$, $|\overrightarrow{AD}|^2$ y $|\overrightarrow{BD}|^2$: los cuatro lados miden $\sqrt{2}$, y la diagonal $AB = 2 = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$, como debe ser en un cuadrado. Además $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ ✓.