Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

En una estantería de una biblioteca hay ensayos, novelas y biografías. Tres de cada dieciséis libros de la estantería son ensayos. Las biografías junto con la tercera parte de los ensayos exceden en dos a las novelas. Si retiráramos la mitad de los ensayos y la quinta parte de las novelas quedarían ciento cinco libros. Calcule el número de libros de cada clase que hay en la estantería.

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Resultado

\boxed{\;24 \text{ ensayos},\quad 55 \text{ novelas},\quad 49 \text{ biografías}\;}

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Estrategia

Es un problema de traducir frases a ecuaciones. Llamamos

x

y

z

a los ensayos, las novelas y las biografías, y cada una de las tres frases del enunciado da una ecuación lineal. La única que tiene trampa es la última: si retiramos la mitad de los ensayos quedan la otra mitad, y si retiramos la quinta parte de las novelas quedan cuatro quintos; las biografías se quedan todas.

Con las tres ecuaciones limpias de fracciones, el sistema es

3\times 3

: comprobamos con el determinante que es compatible determinado (solución única) y lo resolvemos por sustitución o por Gauss. Al final, la solución tiene que ser de números naturales y cumplir las tres frases.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= número de ensayos,

y

= número de novelas,

z

= número de biografías.

Planteamiento. Frase a frase:

«Tres de cada dieciséis libros son ensayos»: $\dfrac{3}{16}(x + y + z) = x$ .
«Las biografías junto con la tercera parte de los ensayos exceden en dos a las novelas»: $z + \dfrac{x}{3} = y + 2$ .
«Si retiráramos la mitad de los ensayos y la quinta parte de las novelas quedarían 105 libros»: quedan $\dfrac{x}{2}$ ensayos, $\dfrac{4y}{5}$ novelas y las $z$ biografías, así que $\dfrac{x}{2} + \dfrac{4y}{5} + z = 105$ .

Quitando denominadores (multiplicando por 16, por 3 y por 10):

\left\{\begin{array}{l} 13x - 3y - 3z = 0 \\ x - 3y + 3z = 6 \\ 5x + 8y + 10z = 1050 \end{array}\right.

Tipo de sistema. El determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 13 & -3 & -3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 5 & 8 & 10 \end{vmatrix} = 13(-30 - 24) + 3(10 - 15) - 3(8 + 15) = -702 - 15 - 69 = -786 \neq 0

luego el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen 3, igual al número de incógnitas: por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado y la solución es única.

Resolución. De la segunda ecuación,

x = 6 + 3y - 3z

. Sustituyendo en las otras dos:

13(6 + 3y - 3z) - 3y - 3z = 0 \;\Longrightarrow\; 36y - 42z = -78 \;\Longrightarrow\; 6y - 7z = -13

5(6 + 3y - 3z) + 8y + 10z = 1050 \;\Longrightarrow\; 23y - 5z = 1020

Multiplicando la primera por 5 y la segunda por 7 y restando:

161y - 35z - (30y - 35z) = 7140 + 65 \;\Longrightarrow\; 131y = 7205 \;\Longrightarrow\; y = 55

Entonces

7z = 6 \cdot 55 + 13 = 343

, o sea

z = 49

, y

x = 6 + 165 - 147 = 24

.

Comprobación. Hay

24 + 55 + 49 = 128

libros.

$\dfrac{3}{16}\cdot 128 = 24$ ensayos ✓.
$49 + \dfrac{24}{3} = 49 + 8 = 57 = 55 + 2$ ✓.
$\dfrac{24}{2} + \dfrac{4\cdot 55}{5} + 49 = 12 + 44 + 49 = 105$ ✓.

Los tres valores son naturales, como deben serlo al contar libros.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo más frecuente está en la tercera ecuación: «retirar la quinta parte de las novelas» deja $\frac{4}{5}y$ , no $\frac{1}{5}y$ . Lee despacio qué se quita y qué queda.

La corrección da 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada y reserva otros 0,5 para la interpretación: termina diciendo cuántos libros hay de cada clase y comprueba las tres frases.