Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

Un examen con opción múltiple está compuesto por 10 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes responde todas las preguntas del examen al azar. Calcular la probabilidad de que conteste bien

a) (0,75 puntos) cinco preguntas,

b) (0,75 puntos) alguna pregunta.

c) (0,5 puntos) Calcular la media y la desviación típica de la distribución.

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Resultado

\boxed{X \sim B\left(10,\ \tfrac{1}{4}\right):\quad \text{a) } P(X = 5) \approx 0{,}0584 \qquad \text{b) } P(X \ge 1) \approx 0{,}9437}

\boxed{\text{c) } \mu = 2{,}5,\quad \sigma = \tfrac{\sqrt{30}}{4} \approx 1{,}3693}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada pregunta es un ensayo con dos resultados (acierta o falla), la probabilidad de acertar es la misma en todas,

p = \frac{1}{4}

, y las respuestas son independientes porque se contesta al azar. El número de aciertos sigue una binomial

B(10, \frac{1}{4})

En a) se aplica la fórmula $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k q^{n-k}$ .
En b) «alguna» es «al menos una», que se calcula mejor por el complementario: $1 - P(X = 0)$ .
En c), la media de una binomial es $np$ y la desviación típica $\sqrt{npq}$ .

Desarrollo

Sea

X

= «número de preguntas contestadas bien». Con

n = 10

p = \frac{1}{4}

q = 1 - p = \frac{3}{4}

X \sim B\left(10,\ \tfrac{1}{4}\right), \qquad P(X = k) = \binom{10}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(\frac{3}{4}\right)^{10 - k}

P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac{1}{4}\right)^5\left(\frac{3}{4}\right)^5 = 252\cdot\frac{3^5}{4^{10}} = \frac{252\cdot 243}{1\,048\,576} = \frac{15\,309}{262\,144} \approx 0{,}0584

b) «Alguna» es

X \ge 1

; su complementario es no acertar ninguna:

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{10} = 1 - \frac{59\,049}{1\,048\,576} = \frac{989\,527}{1\,048\,576} \approx 0{,}9437

\mu = np = 10\cdot\frac{1}{4} = 2{,}5

\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{10\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{30}{16}} = \frac{\sqrt{30}}{4} \approx 1{,}3693

Comprobación de sentido. Contestando al azar, lo esperable es acertar unas 2 o 3 preguntas: que acertar 5 sea poco probable (un

5{,}8\,\%

) y que no acertar ninguna también lo sea (un

5{,}6\,\%

, de ahí el

94\,\%

de b)) encaja con una media de

2{,}5

Consejo

Empieza siempre diciendo qué es $X$ , que es una binomial y con qué $n$ y $p$ : esa frase puntúa por sí sola y es lo que más se olvida.

«Alguna», «al menos una»: complementario. Sumar $P(X = 1) + \dots + P(X = 10)$ son diez cuentas para llegar al mismo número.