Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

Calcular el área encerrada por la gráfica de la función

f(x) = \operatorname{sen}(2x)

, el eje OX y las rectas

x = 0

x = \pi

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{A = 2 \ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El área entre una curva y el eje OX es la integral del valor absoluto de la función. Por eso hay que buscar dónde corta

\operatorname{sen}(2x)

al eje dentro de

[0, \pi]

, partir la integral en esos puntos y sumar los valores absolutos de cada trozo. La primitiva es inmediata:

-\frac{1}{2}\cos(2x)

Desarrollo

Cortes con el eje OX en $[0, \pi]$ .

\operatorname{sen}(2x) = 0 \iff 2x = k\pi \iff x = \frac{k\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi

Signo. Si

0 < x < \frac{\pi}{2}

, entonces

0 < 2x < \pi

\operatorname{sen}(2x) > 0

; si

\frac{\pi}{2} < x < \pi

, entonces

\pi < 2x < 2\pi

\operatorname{sen}(2x) < 0

. La curva está por encima del eje en el primer tramo y por debajo en el segundo.

Primitiva.

\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C

Integrales por tramos (regla de Barrow).

\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}(2x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(2x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\pi/2}^{\pi} = -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{2}\cos\pi = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1

Área.

A = \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}(2x)\,dx + \left|\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(2x)\,dx\right| = 1 + |-1| = 2 \ \text{u}^2

Comprobación de sentido. La función es simétrica respecto de

x = \frac{\pi}{2}

con el signo cambiado, así que los dos recintos tienen la misma área y la integral sin valor absoluto sobre

[0, \pi]

1 - 1 = 0

, que no puede ser un área.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si calculas $\int_0^{\pi} \operatorname{sen}(2x)\,dx$ de una vez, sale $0$ : el trozo de debajo del eje se resta del de arriba. Busca siempre los cortes con el eje dentro del intervalo y suma los valores absolutos.

Un área nunca es negativa ni nula si hay recinto: si te sale así, revisa los tramos.