Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

Determinar la función

f(x)

tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea

f'(x) = (2x + 1)e^{-x}

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{f(x) = 3 - (2x + 3)\,e^{-x}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es una primitiva de

(2x + 1)e^{-x}

. Es el producto de un polinomio por una exponencial, el caso típico de integración por partes, tomando como

u

el polinomio (que al derivar se simplifica). Después, la condición de pasar por el origen,

f(0) = 0

, fija la constante de integración.

Desarrollo

Primitiva por partes. Tomamos

u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2\,dx, \qquad dv = e^{-x}\,dx \Rightarrow v = -e^{-x}

\int (2x + 1)e^{-x}\,dx = -(2x + 1)e^{-x} - \int 2\cdot(-e^{-x})\,dx = -(2x + 1)e^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx

= -(2x + 1)e^{-x} - 2e^{-x} + C = -(2x + 3)e^{-x} + C

Por tanto,

f(x) = -(2x + 3)e^{-x} + C

para algún

C \in \mathbb{R}

.

Constante. La gráfica pasa por el origen, así que

f(0) = 0

f(0) = -(0 + 3)e^{0} + C = -3 + C = 0 \iff C = 3

f(x) = 3 - (2x + 3)e^{-x}

Comprobación. Derivando con la regla del producto:

f'(x) = -2e^{-x} - (2x + 3)(-e^{-x}) = e^{-x}\bigl(-2 + 2x + 3\bigr) = (2x + 1)e^{-x}

que es la derivada del enunciado ✓, y

f(0) = 3 - 3 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En las integrales por partes de «polinomio por exponencial», el polinomio es siempre $u$ : al derivarlo baja de grado. Si lo eliges como $dv$ , la integral que queda es peor que la de partida.

Cuidado con el signo de la primitiva de $e^{-x}$ , que es $-e^{-x}$ : es donde más se falla. Derivar el resultado al final lo detecta.