Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

Dada la función

f(x) = |x + 1| + |x - 2|

.

a) (1 punto) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función.

b) (1 punto) Calcular el intervalo donde la función permanece constante.

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Resultado

\boxed{\text{a) Continua en } \mathbb{R};\ \text{derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 2\}}

\boxed{\text{b) } f(x) = 3 \text{ en } [-1,\ 2]}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con valores absolutos, lo primero es quitarlos: cada uno cambia de expresión donde se anula lo de dentro (

x = -1

x = 2

), así que

f

es una función a trozos con tres tramos. En a), cada tramo es un polinomio; solo hay que estudiar los puntos de cambio con los límites laterales y las derivadas laterales. En b), el tramo central sale constante.

Desarrollo

Expresión a trozos.

Si $x < -1$ : $x + 1 < 0$ y $x - 2 < 0$ , luego $f(x) = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1$ .
Si $-1 \le x \le 2$ : $x + 1 \ge 0$ y $x - 2 \le 0$ , luego $f(x) = (x + 1) - (x - 2) = 3$ .
Si $x > 2$ : los dos son positivos, $f(x) = (x + 1) + (x - 2) = 2x - 1$ .

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} -2x + 1 & \text{si } x < -1 \\ 3 & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 2 \end{array}\right.

a) Continuidad. En cada tramo abierto

f

es polinómica, luego continua. En los puntos de cambio:

x = -1:\quad \lim_{x \to -1^-} (-2x + 1) = 3,\qquad \lim_{x \to -1^+} 3 = 3,\qquad f(-1) = 3

x = 2:\quad \lim_{x \to 2^-} 3 = 3,\qquad \lim_{x \to 2^+} (2x - 1) = 3,\qquad f(2) = 3

Los límites laterales coinciden con el valor de la función:

f

es continua en todo $\mathbb{R}$ (era de esperar: es suma de valores absolutos de funciones continuas).

a) Derivabilidad. Fuera de

-1

2

f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} -2 & \text{si } x < -1 \\ 0 & \text{si } -1 < x < 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{array}\right.

Como

f

es continua en los puntos de cambio, la derivabilidad se decide con las derivadas laterales:

f'(-1^-) = -2 \neq 0 = f'(-1^+), \qquad f'(2^-) = 0 \neq 2 = f'(2^+)

f

no es derivable en $x = -1$ ni en $x = 2$ (la gráfica tiene dos picos) y es derivable en

\mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}

.

b) En el tramo central

f(x) = 3

para todo

x \in [-1, 2]

f'(x) = 0

(-1, 2)

). Fuera de él no es constante: para

x < -1

decrece (

f' = -2 < 0

) y para

x > 2

crece (

f' = 2 > 0

). La función permanece constante, con valor

3

, en el intervalo

[-1, 2]

.

Interpretación.

|x + 1| + |x - 2|

es la suma de las distancias de

x

-1

y a

2

: si

x

está entre los dos, esa suma es la distancia entre ellos,

3

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con valores absolutos, escribe siempre la función a trozos antes de estudiar nada: los únicos puntos dudosos son donde se anula lo de dentro de cada barra.

Para la derivabilidad, primero la continuidad y luego las derivadas laterales. Si la función no fuera continua en un punto, ya no sería derivable allí sin calcular nada más.

Paso 1 de 3

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Derivadas y aplicaciones

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera la función