Límites y continuidad

Condición de continuidad. $f$ es continua en $x = 0$ si y solo si$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a$$Cálculo del límite. Para $x \neq 0$ la función es el cociente. Al sustituir, el numerador vale $0\cdot e^0 - \operatorname{sen} 0 = 0$ y el denominador $0$: indeterminación $\frac{0}{0}$. Numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:$$\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \cos x}{2x}$$Ahora el numerador vale $1 + 0 - 1 = 0$ y el denominador $0$: otra vez $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital de nuevo:$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^x + x e^x + \operatorname{sen} x}{2} = \frac{2 + 0 + 0}{2} = 1$$(la derivada de $e^x + xe^x$ es $e^x + e^x + xe^x$ y la de $-\cos x$ es $\operatorname{sen} x$). Como el último límite existe, también existen los anteriores y valen lo mismo:$$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$$Conclusión. Para que $f$ sea continua en $x = 0$ hace falta $a = 1$.

Comprobación con los desarrollos de Taylor: $x e^x = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \dots$ y $\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$, así que el numerador es $x^2 + \frac{2}{3}x^3 + \dots$ y el cociente tiende a $1$ ✓.