Rectas y planos

Leemos de la continua: $A = (1, -1, 2) \in r$ y $\vec u = (2, 3, 1)$.

a) El origen no está en $r$: $\frac{0 - 1}{2} = -\frac{1}{2}$ y $\frac{0 + 1}{3} = \frac{1}{3}$ no coinciden. Así que $\overrightarrow{OA} = (1, -1, 2)$ y $\vec u = (2, 3, 1)$ son dos vectores no paralelos contenidos en el plano buscado, y el plano es el que pasa por $O$ con esos dos vectores:$$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$Desarrollando por la primera fila:$$x(-1 - 6) - y(1 - 4) + z(3 + 2) = -7x + 3y + 5z = 0$$es decir,$$\pi_1 \equiv 7x - 3y - 5z = 0$$Comprobación. $O$: $0 = 0$ ✓. $A = (1, -1, 2)$: $7 + 3 - 10 = 0$ ✓. Otro punto de $r$, $A + \vec u = (3, 2, 3)$: $21 - 6 - 15 = 0$ ✓. Como contiene dos puntos de $r$, contiene toda la recta.

b) Si el plano es perpendicular a $r$, el director de $r$ es su vector normal: $\vec n = \vec u = (2, 3, 1)$. El plano es $2x + 3y + z + D = 0$ y, como pasa por el origen, $D = 0$:$$\pi_2 \equiv 2x + 3y + z = 0$$