Rectas y planos

Paramétricas de $r$. Con $x = t$: la segunda ecuación da $z = x = t$ y la primera, $y = 1 + 2x = 1 + 2t$:$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = t \end{array}\right. \qquad A = (0, 1, 0) \in r,\quad \vec u = (1, 2, 1)$$(Se comprueba con los normales de los dos planos: $(-2, 1, 0) \times (1, 0, -1) = (-1, -2, -1)$, paralelo a $\vec u$.)

a) Sustituimos el punto genérico de $r$ en $\pi$:$$t + 2(1 + 2t) - t = 0 \iff 4t + 2 = 0 \iff t = -\frac{1}{2}$$Hay una única solución, así que recta y plano se cortan en un punto:$$P = \left(-\frac{1}{2},\ 1 + 2\left(-\frac{1}{2}\right),\ -\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2},\ 0,\ -\frac{1}{2}\right)$$Comprobación. En $\pi$: $-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$ ✓. En $r$: $y - 2x = 0 + 1 = 1$ ✓ y $x - z = 0$ ✓.

b) Con $A = (0, 1, 0)$ y $O = (0, 0, 0)$, $\overrightarrow{AO} = (0, -1, 0)$:$$\overrightarrow{AO} \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1,\ 0,\ 1)$$$$d(O, r) = \frac{|\overrightarrow{AO} \times \vec u|}{|\vec u|} = \frac{\sqrt{1 + 0 + 1}}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$$Comprobación con el pie de la perpendicular: el punto $Q(t) = (t, 1 + 2t, t)$ más cercano al origen cumple $\overrightarrow{OQ} \cdot \vec u = 0$, es decir, $t + 2 + 4t + t = 0$, $t = -\frac{1}{3}$, y $Q = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)$. Su distancia al origen es $\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ✓.