Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

Dadas las matrices

M = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Calcular la matriz

X

cuadrada de orden 3 que cumple

M \cdot X - N = 2X

. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{X = (M - 2I)^{-1}N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 7 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una ecuación matricial lineal: se pasan los términos con

X

a un lado y se saca

X

factor común por la derecha, escribiendo

2X = 2I\cdot X

. Queda

(M - 2I)X = N

; si

M - 2I

es invertible,

X = (M - 2I)^{-1}N

. La inversa se calcula por adjuntos (la matriz es triangular, así que el determinante sale enseguida).

Desarrollo

Despejar $X$ .

MX - N = 2X \iff MX - 2X = N \iff (M - 2I)\,X = N

Ojo: no se puede escribir

(M - 2)X

, porque no se resta un número de una matriz;

2X = 2I\cdot X

P = M - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

¿Es invertible?

P

es triangular inferior, así que su determinante es el producto de la diagonal:

|P| = 1\cdot 1\cdot 1 = 1 \neq 0

. Existe

P^{-1}

y, multiplicando por la izquierda,

X = P^{-1}N

Inversa por adjuntos. Los adjuntos de

P

son

P_{11} = 1,\ P_{12} = -2,\ P_{13} = 3,\quad P_{21} = 0,\ P_{22} = 1,\ P_{23} = -2,\quad P_{31} = 0,\ P_{32} = 0,\ P_{33} = 1

(por ejemplo,

P_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3

P_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2

). La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre

|P| = 1

P^{-1} = \frac{1}{|P|}\operatorname{Adj}(P)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Producto.

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 7 \end{pmatrix}

Comprobación.

MX = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 6 & -4 & -6 \\ -8 & 3 & 17 \end{pmatrix}

MX - N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 4 & -4 & -4 \\ -8 & 4 & 14 \end{pmatrix}

que es exactamente

2X

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al sacar factor común, la $X$ queda a la derecha en $MX$ y en $2X$ , así que la inversa multiplica por la izquierda: $X = (M - 2I)^{-1}N$ , no $N(M - 2I)^{-1}$ . El producto de matrices no es conmutativo y ese cambio de orden da otra matriz.

Antes de invertir, di que $|M - 2I| \neq 0$ : sin esa frase, la inversa no está justificada.