Matemáticas IIMedio2 pts

Sistemas de ecuaciones

También trata: Matrices

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

.

a) (0,5 puntos) Calcular, cuando sea posible, las matrices

C \cdot B^t

B^t \cdot C

B \cdot C

, donde

B^t

es la matriz traspuesta de

B

.

b) (1,5 puntos) Hallar

a \in \mathbb{R}

para que el sistema

x \cdot A + y \cdot B = C

de tres ecuaciones y dos incógnitas

x

y

, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de

a

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } C B^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ 6 & -2 & -8 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix},\quad B^t C = (-3),\quad BC \text{ no existe}}

\boxed{\text{b) } a = -1:\quad x = \tfrac{7}{5},\ y = -\tfrac{3}{5}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) solo hay que mirar las dimensiones: un producto

P \cdot Q

existe cuando el número de columnas de

P

coincide con el de filas de

Q

, y el resultado tiene las filas de

P

y las columnas de

Q

.

En b) la ecuación vectorial

xA + yB = C

es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas. Por Rouché-Frobenius, es compatible determinado cuando

\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 2

. Como la matriz de coeficientes siempre tiene rango 2, la condición es que la ampliada (que es

3\times 3

) tenga determinante nulo.

Desarrollo

a) Las tres matrices son

3\times 1

B^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \end{pmatrix}

1\times 3

$C \cdot B^t$ : $(3\times 1)\cdot(1\times 3)$ , se puede y da una matriz $3\times 3$ :

C \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ 6 & -2 & -8 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix}

$B^t \cdot C$ : $(1\times 3)\cdot(3\times 1)$ , se puede y da una matriz $1\times 1$ :

B^t \cdot C = 3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + (-4)\cdot 1 = (-3)

$B \cdot C$ : $(3\times 1)\cdot(3\times 1)$ , no se puede: $B$ tiene 1 columna y $C$ tiene 3 filas.

b) Escribiendo la igualdad componente a componente:

x\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{rcrcl} 2x & + & 3y & = & 1 \\ x & - & y & = & 2 \\ ax & - & 4y & = & 1 \end{array}\right.

Matriz de coeficientes y ampliada:

M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ a & -4 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ a & -4 & 1 \end{array}\right)

Rango de $M$ . El menor de las dos primeras filas es

\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(M) = 2

para todo

a

(no puede ser mayor: solo tiene dos columnas).

Rango de $M^*$ . Desarrollando por la primera fila:

|M^*| = 2\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ a & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & -4 \end{vmatrix} = 2\cdot 7 - 3(1 - 2a) + (-4 + a) = 7a + 7

|M^*| = 7(a + 1) = 0 \iff a = -1

Si $a \neq -1$ : $\operatorname{rg}(M^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(M) = 2$ , sistema incompatible.
Si $a = -1$ : $\operatorname{rg}(M^*) = 2$ (contiene el menor $-5 \neq 0$ ) $= \operatorname{rg}(M) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Resolución con $a = -1$ . La tercera ecuación depende de las dos primeras, así que basta con resolver

\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 1 \\ x - y = 2 \end{array}\right.

De la segunda,

x = 2 + y

; sustituyendo,

4 + 2y + 3y = 1

, luego

y = -\dfrac{3}{5}

x = \dfrac{7}{5}

.

Comprobación en la tercera ecuación con

a = -1

-\dfrac{7}{5} - 4\left(-\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{-7 + 12}{5} = 1

✓.

Consejo

Con más ecuaciones que incógnitas, compatible determinado no significa determinante distinto de cero, sino justo lo contrario: la ampliada (cuadrada, $3\times 3$ ) tiene que tener determinante nulo para que su rango no supere al de la matriz de coeficientes.

Y en a) no te dejes el caso imposible: decir por qué $B\cdot C$ no existe también puntúa.