Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normal

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

El diámetro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media

2{,}5

cm y desviación típica

0{,}2

cm.

a) (1 punto) Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 % de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas?

b) (1 punto) Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre

2{,}2

cm y

2{,}8

cm?

(Se adjunta la tabla de la normal)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } k \approx 2{,}756 \text{ cm: las de diámetro} \ge 2{,}76 \text{ cm}}

\boxed{\text{b) } P(2{,}2 \le X \le 2{,}8) = 0{,}8664}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sea

X

el diámetro en cm,

X \sim N(2{,}5;\ 0{,}2)

. El apartado a) es un problema inverso: conocemos una probabilidad (el 10 % de la cola derecha) y buscamos el valor

k

que la deja; se busca en el interior de la tabla el valor de

z

con

P(Z \le z) = 0{,}90

y se destipifica. El apartado b) es directo: tipificamos los dos extremos, que resultan simétricos respecto de la media, y usamos la tabla y la simetría de la normal.

Desarrollo

Sea

X

= "diámetro de una cereza picota, en cm",

X \sim N(\mu = 2{,}5;\ \sigma = 0{,}2)

, y

Z = \dfrac{X - 2{,}5}{0{,}2} \sim N(0, 1)

.

a) Buscamos el tamaño

k

tal que solo el 10 % de las cerezas lo supera:

P(X \ge k) = 0{,}10 \iff P(X \le k) = 0{,}90 \iff P\left(Z \le \frac{k - 2{,}5}{0{,}2}\right) = 0{,}90

En el interior de la tabla, los valores más próximos a

0{,}90

son

P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997

P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015

. El más cercano es el primero, así que

\frac{k - 2{,}5}{0{,}2} = 1{,}28 \;\Longrightarrow\; k = 2{,}5 + 1{,}28\cdot 0{,}2 = 2{,}756 \text{ cm}

Hay que coger las cerezas de diámetro mayor o igual que unos

2{,}76

cm.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Tipificamos los extremos:

z_1 = \frac{2{,}2 - 2{,}5}{0{,}2} = -1{,}5, \qquad z_2 = \frac{2{,}8 - 2{,}5}{0{,}2} = 1{,}5

P(2{,}2 \le X \le 2{,}8) = P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = P(Z \le 1{,}5) - P(Z < -1{,}5)

Por simetría,

P(Z < -1{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}5)

, y de la tabla

P(Z \le 1{,}5) = 0{,}9332

P(2{,}2 \le X \le 2{,}8) = 2\cdot P(Z \le 1{,}5) - 1 = 2\cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664

Comprobación de sentido. El intervalo es

\mu \pm 1{,}5\sigma

: algo más que el

\mu \pm \sigma

(que recoge cerca del 68 %) y menos que el

\mu \pm 2\sigma

(cerca del 95 %). Un 86,64 % encaja.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En el problema inverso, el 10 % «de las más grandes» es la cola de la derecha: busca en la tabla $0{,}90$ , no $0{,}10$ . Si buscas $0{,}10$ te sale un $z$ negativo y un tamaño por debajo de la media, que no tiene sentido.

Cuando el intervalo es simétrico respecto de la media, $P(-a \le Z \le a) = 2P(Z \le a) - 1$ ahorra pasos y errores.

Paso 1 de 3

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