Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Hallar el parámetro positivo

a \in \mathbb{R}

tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones

f(x) = x^2

g(x) = ax

sea

4/3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{a = 2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Calculamos el área en función de

a

y la igualamos a

4/3

. Para ello buscamos los puntos de corte de la parábola y la recta (los límites de integración), vemos qué función va por encima entre ellos y aplicamos la regla de Barrow a la integral de la diferencia. Queda una ecuación sencilla en

a

Desarrollo

Puntos de corte:

x^2 = ax \iff x^2 - ax = 0 \iff x(x - a) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = a

Como

a > 0

, el recinto está entre

x = 0

x = a

.

Qué función va por encima. En un punto intermedio, por ejemplo

x = a/2

g(a/2) = a^2/2

f(a/2) = a^2/4

, luego

g(x) \ge f(x)

[0, a]

. (En general,

ax - x^2 = x(a - x) \ge 0

para

0 \le x \le a

: la recta va por encima de la parábola.)

Área en función de $a$ :

\text{Área} = \int_0^a \bigl(ax - x^2\bigr)\, dx = \left[\frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^a = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} - 0 = \frac{a^3}{6}

Condición del enunciado:

\frac{a^3}{6} = \frac{4}{3} \iff a^3 = 8 \iff a = 2

(es la única raíz real de

a^3 = 8

, y es positiva, como pide el enunciado).

Comprobación. Con

a = 2

\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de integrar, di qué función va por encima en el intervalo: si integras $x^2 - ax$ te sale $-a^3/6$ , y no se puede igualar un número negativo a un área.

Los límites de integración son los cortes de las dos gráficas, y aquí dependen de $a$ : escríbelos con el parámetro y no supongas un valor antes de tiempo.