Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Calcular la integral

\displaystyle\int \frac{1}{x^3 - x}\, dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\int \frac{dx}{x^3 - x} = -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x - 1| + \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional en la que el grado del numerador es menor que el del denominador, así que no hace falta dividir. Factorizamos el denominador, que tiene tres raíces reales simples, y descomponemos en fracciones simples. Cada fracción da un logaritmo inmediato.

Desarrollo

Factorización del denominador:

x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)

Descomposición en fracciones simples. Buscamos

A

B

C

tales que

\frac{1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}

Multiplicando por

x(x - 1)(x + 1)

1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)

Damos a

x

los valores de las raíces:

$x = 0$ : $\ 1 = A\cdot(-1)\cdot 1 \;\Longrightarrow\; A = -1$
$x = 1$ : $\ 1 = B\cdot 1\cdot 2 \;\Longrightarrow\; B = \dfrac{1}{2}$
$x = -1$ : $\ 1 = C\cdot(-1)\cdot(-2) \;\Longrightarrow\; C = \dfrac{1}{2}$

Por tanto

\frac{1}{x^3 - x} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x + 1}

Integramos término a término (cada uno es del tipo

\int \frac{dx}{x - a} = \ln|x - a|

\int \frac{dx}{x^3 - x} = -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x - 1| + \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

Agrupando con las propiedades de los logaritmos:

\int \frac{dx}{x^3 - x} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2 - 1}{x^2}\right| + C = \ln\frac{\sqrt{|x^2 - 1|}}{|x|} + C

Comprobación derivando la primera forma:

\frac{d}{dx}\left(-\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x - 1| + \frac{1}{2}\ln|x + 1|\right) = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} = \frac{-(x^2 - 1) + \frac{1}{2}x(x + 1) + \frac{1}{2}x(x - 1)}{x(x^2 - 1)}

= \frac{-x^2 + 1 + x^2}{x^3 - x} = \frac{1}{x^3 - x}

que es el integrando ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con raíces simples, el truco más rápido para los coeficientes es sustituir $x$ por cada raíz en la igualdad de numeradores: cada valor anula dos sumandos y deja una ecuación con una sola incógnita.

No olvides los valores absolutos dentro de los logaritmos ni la constante $+C$ : son las dos erratas que más descuentan en una integral indefinida.