Derivadas y aplicaciones

Dominio. $x^2 + 1 > 0$ para todo $x$, así que $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$ y $f$ es derivable las veces que haga falta.

Primera derivada (regla de la cadena: $(\ln u)' = u'/u$):$$f'(x) = 1 - \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$$Segunda derivada. Derivamos $-\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ con la regla del cociente:$$f''(x) = -\frac{2(x^2 + 1) - 2x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$$Ceros de $f''$:$$f''(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = -1 \ \text{o}\ x = 1$$Signo de $f''$. El denominador $(x^2 + 1)^2$ es siempre positivo, así que $f''$ tiene el signo de $x^2 - 1$:En $x = -1$ y en $x = 1$ la segunda derivada cambia de signo: los dos son puntos de inflexión.

Ordenadas:$$f(-1) = -1 - \ln 2 \approx -1{,}69, \qquad f(1) = 1 - \ln 2 \approx 0{,}31$$Comprobación con la tercera derivada: $f'''(-1) = -1 \neq 0$ y $f'''(1) = 1 \neq 0$, lo que confirma las dos inflexiones. (En $x = 1$ además $f'(1) = 0$: la tangente es horizontal, y como $f' = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} \ge 0$, $f$ es creciente en todo $\mathbb{R}$ y ese punto no es extremo, sino una inflexión con tangente horizontal.)