Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2}

a) (1,5 puntos) Estudiar asíntotas, monotonía y puntos extremos de

f(x)

.

b) (0,5 puntos) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de

f(x)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{A.V. } x = \pm 1;\ \text{A.O. } y = -x;\ \text{sin A.H.}}

\boxed{\text{Decrece en } (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty);\ \text{crece en } (-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3})}

\boxed{\text{Mín. } \left(-\sqrt{3}, \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right);\ \text{máx. } \left(\sqrt{3}, -\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: su dominio es

\mathbb{R}

menos los ceros del denominador, que serán las candidatas a asíntotas verticales. Como el grado del numerador supera en uno al del denominador, no hay asíntota horizontal y sí oblicua. Para la monotonía derivamos con la regla del cociente, factorizamos

f'

y estudiamos su signo en los intervalos que marcan sus ceros y los puntos fuera del dominio; los extremos son los puntos donde

f'

cambia de signo.

Ayuda mucho notar que

f

es impar:

f(-x) = -f(x)

, así que su gráfica es simétrica respecto del origen.

Desarrollo

a) Dominio.

1 - x^2 = 0 \iff x = \pm 1

, luego

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

. Además

f(-x) = \dfrac{-x^3}{1 - x^2} = -f(x)

f

es impar.

Asíntotas verticales. En

x = 1

el numerador vale

1 \neq 0

y el denominador se anula:

\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1 - x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1 - x^2} = \frac{1}{0^-} = -\infty

y, en

x = -1

(numerador

-1

\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{1 - x^2} = \frac{-1}{0^-} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{1 - x^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty

Las rectas

x = 1

x = -1

son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal.

\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{1 - x^2} = \mp\infty

(grado 3 frente a grado 2): no hay.

Asíntota oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{1 - x^2} = -1

n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) + x\bigr) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x - x^3}{1 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1 - x^2} = 0

La recta

y = -x

es asíntota oblicua en

+\infty

y en

-\infty

.

Monotonía. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{3x^2(1 - x^2) - x^3(-2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1 - x^2)^2} = \frac{x^2(3 - x^2)}{(1 - x^2)^2}

f'(x) = 0 \iff x^2(3 - x^2) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = \pm\sqrt{3}

El denominador

(1 - x^2)^2

y el factor

x^2

son positivos en el dominio (salvo en

x = 0

), así que el signo de

f'

es el de

3 - x^2

	$(-\infty, -\sqrt{3})$	$(-\sqrt{3}, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, 1)$	$(1, \sqrt{3})$	$(\sqrt{3}, +\infty)$
signo de $f'$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	crece	crece	crece	decrece

f

es decreciente en

(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)

y creciente en

(-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3})

.

Extremos.

En $x = -\sqrt{3}$ , $f'$ pasa de $-$ a $+$ : mínimo relativo, con $f(-\sqrt{3}) = \dfrac{-3\sqrt{3}}{1 - 3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60$ .
En $x = \sqrt{3}$ , $f'$ pasa de $+$ a $-$ : máximo relativo, con $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 - 3} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2{,}60$ .
En $x = 0$ , $f'$ se anula pero no cambia de signo (crece a los dos lados): no es extremo (la tangente es horizontal y es un punto de inflexión).

Que el máximo quede por debajo del mínimo no es contradictorio: son extremos relativos y están separados por las asíntotas verticales.

b) Con lo anterior, y sabiendo que la gráfica pasa por el origen (único corte con los ejes), el esbozo es:

Para $x < -1$ : baja desde $+\infty$ pegada por encima a la asíntota $y = -x$ (allí $f(x) + x = \frac{x}{1 - x^2} > 0$ ) hasta el mínimo $\left(-\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ y sube hacia $+\infty$ junto a $x = -1$ .
Entre $-1$ y $1$ : sale de $-\infty$ junto a $x = -1$ , crece pasando por $(0, 0)$ con tangente horizontal y sube hacia $+\infty$ junto a $x = 1$ .
Para $x > 1$ : sale de $-\infty$ junto a $x = 1$ , crece hasta el máximo $\left(\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ y luego baja acercándose por debajo a $y = -x$ .

La gráfica es simétrica respecto del origen, como corresponde a una función impar.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No escribas «crece en $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ »: $\pm 1$ no están en el dominio y un intervalo de crecimiento no puede saltar por encima de una asíntota. Pon la unión de los tres intervalos.

En $x = 0$ la derivada se anula pero no cambia de signo: no hay extremo. Mira siempre el signo de $f'$ a los dos lados antes de llamar máximo o mínimo a un cero de la derivada.