Matemáticas IIMedio2 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Sean las rectas:

r: \left\{\begin{array}{l} x = 2 - 2y \\ z = 1 - x \end{array}\right.

s: \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{z + 1}{-2}

.

a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de las rectas

r

s

.

b) (1 punto) Calcular la distancia entre las dos rectas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Las rectas se cruzan } \bigl([\vec u, \vec v, \overrightarrow{P_rP_s}] = 4 \neq 0\bigr)}

\boxed{\text{b) } d(r, s) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 \text{ u}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De cada recta sacamos un punto y un vector director:

r

viene en implícitas, así que la pasamos a paramétricas tomando

y

como parámetro. Con los dos directores y el vector que une los dos puntos se decide la posición: si los directores no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan, y lo distingue el producto mixto (cero si son coplanarias, distinto de cero si se cruzan).

En b), como se cruzan, la distancia es la altura del paralelepípedo que forman esos tres vectores: el valor absoluto del producto mixto entre el módulo del producto vectorial de los directores.

Desarrollo

Punto y vector director de cada recta. En

r

tomamos

y = \lambda

: entonces

x = 2 - 2\lambda

z = 1 - x = 1 - (2 - 2\lambda) = -1 + 2\lambda

r: \left\{\begin{array}{l} x = 2 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{array}\right. \qquad P_r = (2, 0, -1), \quad \vec u = (-2, 1, 2)

La recta

s

está en forma continua:

P_s = (1, 3, -1), \qquad \vec v = (2, 1, -2)

a) Los directores no son proporcionales:

\dfrac{-2}{2} = -1 \neq \dfrac{1}{1} = 1

. Por tanto las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Para decidirlo usamos el vector que une los dos puntos,

\overrightarrow{P_rP_s} = (1 - 2,\ 3 - 0,\ -1 + 1) = (-1, 3, 0)

y el producto mixto:

[\vec u, \vec v, \overrightarrow{P_rP_s}] = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -2(0 + 6) - 1(0 - 2) + 2(6 + 1) = -12 + 2 + 14 = 4

Como es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes: las rectas no están en un mismo plano. Las rectas se cruzan.

(Equivalente con rangos:

\operatorname{rg}(\vec u, \vec v) = 2

\operatorname{rg}(\vec u, \vec v, \overrightarrow{P_rP_s}) = 3

.)

b) Producto vectorial de los directores:

\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2 - 2)\,\vec i - (4 - 4)\,\vec j + (-2 - 2)\,\vec k = (-4, 0, -4)

|\vec u \times \vec v| = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

La distancia entre dos rectas que se cruzan:

d(r, s) = \frac{\bigl|[\vec u, \vec v, \overrightarrow{P_rP_s}]\bigr|}{|\vec u \times \vec v|} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 \text{ u}

Comprobación. Con el vector

\vec n = (1, 0, 1)

, perpendicular a los dos directores (

\vec n\cdot\vec u = -2 + 2 = 0

\vec n\cdot\vec v = 2 - 2 = 0

), la distancia es la proyección de

\overrightarrow{P_rP_s}

sobre

\vec n

\dfrac{|(-1, 3, 0)\cdot(1, 0, 1)|}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al pasar $r$ a paramétricas no copies los coeficientes de las implícitas como si fueran el vector director: despeja todas las coordenadas en función de un parámetro (aquí $y = \lambda$ ) y lee el director de los coeficientes de $\lambda$ .

Que los directores no sean proporcionales solo descarta paralelas y coincidentes. Para decir «se cruzan» hace falta el producto mixto distinto de cero (o el rango 3).