Matemáticas IIFácil2 pts

Vectores y ángulos

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Dados los puntos

A = (0, 0, 2)

B = (1, 1, 0)

y la recta

r: \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = z \end{array}\right.

. Calcular un punto

P \in r

para que el triángulo

ABP

tenga un ángulo recto en el punto

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{P = (1, 5, 5)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que el ángulo en

A

sea recto significa que los lados que salen de

A

, los vectores

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AP}

, son perpendiculares: su producto escalar vale

0

. Escribimos el punto genérico de

r

en función de un parámetro, imponemos esa condición y obtenemos una ecuación de primer grado.

Desarrollo

Punto genérico de $r$ . La recta está dada por

x = 1

y = z

. Tomando

z = t

como parámetro:

r: \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = t \\ z = t \end{array}\right. \qquad P = (1,\ t,\ t),\ t \in \mathbb{R}

Vectores desde $A$ :

\overrightarrow{AB} = B - A = (1, 1, -2), \qquad \overrightarrow{AP} = P - A = (1,\ t,\ t - 2)

Condición de ángulo recto en $A$ :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} = 0 \iff 1\cdot 1 + 1\cdot t + (-2)(t - 2) = 0 \iff 1 + t - 2t + 4 = 0 \iff 5 - t = 0

t = 5 \;\Longrightarrow\; P = (1, 5, 5)

Comprobación.

P = (1, 5, 5)

cumple

x = 1

y = z

, luego está en

r

✓.

\overrightarrow{AP} = (1, 5, 3)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} = 1 + 5 - 6 = 0

✓. Además el triángulo no es degenerado:

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AP}

son no nulos y no proporcionales, así que

A

B

P

no están alineados.

La solución es única porque la condición es una ecuación de primer grado en

t

: hay un solo punto de

r

en el plano perpendicular a

\overrightarrow{AB}

que pasa por

A

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El ángulo recto está en el vértice que dice el enunciado: los dos vectores tienen que salir de $A$ . Si usas $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BP}$ , estás poniendo el ángulo recto en $B$ y el resultado es otro punto.

Escribe siempre el punto genérico de la recta con su parámetro antes de imponer nada: así el problema se reduce a una sola ecuación.